单墫博士详解勾股数（毕达哥拉斯三元数组）

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勾股定理必考题

在下面这篇文章中提到了毕达哥拉斯三元数组，https://m.toutiao.com/is/2CsxXNq/?=哈利·波特与圆上的有理点 – 今日头条

今天我们继续这个话题，先看一道题目：

视频截图

这是一个关于勾股数的问题，在毕达哥拉斯三元数组中，已知一条直角边的边长是11，求另外两条边的边长。还有一个重要的已知条件：三边的边长都是正整数。

要解决这个问题，赤手空拳当然不行，得有合适的武器才能解题。这个题目暂时放下，待我们学习了相关知识后再来解答。

接下来请看单墫博士介绍勾股数的文章。

勾股数（Pythagorean numbers）

方程x²+y²=z²的正整数解x、y、z称为勾股数.

很多国家和民族都研究过勾股数.根据现有材料，最早发现勾股数组的是4000年前的古巴比伦人.美国哥伦比亚大学藏有刻着十五组勾股数的古巴比伦泥板.

希腊古代数学家毕达哥拉斯研究过勾股定理和勾股数.因此，勾股数也称为毕达哥拉斯数.

我国古代算书《周髀算经》（约成书于公元前1世纪）中有“勾三股四弦五”之说，即直角三角形中两条直角边分别为3、4，斜边为5，3、4、5满足3²+4²=5²，它们是一组勾股数，而且是最小的勾股数.一般地，方程

x²+y²=z² ①

的正整数解由公式(不计x、y的顺序)

紧接上下文

给出，其中u、v为互质的正整数，且为一奇一偶，u>v，d是任意正整数.证明如下：

若x、y、，z不是两两互质，不妨设(x，y)=d>1，这时d²整除①式左边，因而也整除右边，从而d整除z.在①的两边约去d²，并用

紧接上下文

代替x、y、z进行讨论.因此，可假定x、y、z两两互质.

这时，x、y、z中至多有一个为偶数.若x、y为奇数，则x²、y²除以4余1，x²+y²除以4余2，而z²除以4余1或0，所以x、y不能全为奇数.不妨设y为偶数，则x、z全为奇数.移项得

y²=z²-x²=(z+x)(z-x)，

由于

(z+x,z-x)=(z+x,2x)=2(z+x,x)=2(z,x)=2，

紧接下图

紧接下文

及唯一分解定理得

紧接上下文

其中u、v为互质的正整数，u>v.

由③易知

紧接上下文

因为z为奇数，所以u、v不全为奇数.

④是x、y、z两两互质时①的解，通常称为本原解.①的一般解是②.容易验证②确实满足①.

勾股数有众多应用.参见Bachet问题、不定方程x⁴+y⁴=z²等.

(单墫)

学习体会

通过以上内容的学习，我们掌握了可以生成勾股数的公式，也体会到了代数的威力。如果没有代数知识的帮助，仅仅知道“勾三股四弦五”是远远不够的。

根据公式，令u=2，v=1，就得到一组勾股数(3，4，5)，这是唯一一组由连续自然数构成的勾股数。

根据相似三角形的原理，把这组勾股数每个数都乘以2，就得到另一组勾股数(6，8，10)，这是唯一一组由连续偶数构成的勾股数。

我们再继续多看几个例子，(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，40，41)，(10，24，26)……

观察以上例子，我们可以归纳总结出勾股数的以下几个规律：

1.当勾(短直角边a)为大于1的奇数2n+1时，股(长直角边b)=2n²+2n，弦(斜边c)=2n²+2n+1。实际上就是把勾的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

2.当勾(短直角边a)为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

勾股数的3条规律

规律一：在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

规律二：在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。

规律三：在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

现在我们可以解答勾股定理必考题了。

勾股定理必考题的多种解法

数学老师的解法请大家自行观看视频学习，这里不再重复赘述。

我们可以把这个题目看成一个猜数游戏，猜猜u、v是多少。

因为11是奇数，所以先假设11=u²-v².

对于平方数，古希腊的毕达哥拉斯早有研究，我们了解一下。

三角形数和正方形数

中国古人用算筹表示数，古希腊人用小石子表示数。以上是三角形数和正方形数的图示。

连续奇数之和构成平方数

两个连续三角形数构成平方数

奇数可以摆成曲尺形

通过以上图片 我们对正方形数(平方数)有了更深刻的认识。

通过数学史的浏览和学习，回到我们的问题，假设a=11=u²-v²，很容易猜到11=6²-5²，那么，知道了u和v，另一条直角边股就是

b=2uv=60，斜边就是

c=u²+v²=61.

还有另外一个解法。根据勾股数的规律三：在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

于是，b=(a²-1)÷2=(121-1)÷2=60，根据规律一：在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

于是，c=a²-b=121-60=61

题目所求勾股数是(11，60，61)。

知识拓展

勾股定理是几何学的基石和瑰宝，它的发现和广泛应用促进了数学各方面的发展。几何的发展是余弦定理，代数的发展是导致了数系的扩大和二次根式等等，数论的发展是勾股数及其它相关问题。

知道了勾股数，你知道合同数吗？我们来了解一下。

以上资料来自单墫主编的《数学名题词典》，江苏教育出版社，2002.6.

勾股数等条目作者是单墫博士。

作者简介：

单墫，教授，男，1943年11月生，江苏泰州市人，中共党员，1964年扬州师范学院数学系毕业，1983年在中国科学技术大学获理学博士学位。现任南京师范大学数学与计算机科学学院教授，博士生导师，南京市十届政协委员，南京数学会理事长。曾任南京市九届政协委员，南京师范大学数学系主任，中共十四大代表，国家教委理科实验班专家组组长，中国国家数学奥林匹克代表队总教练、领队。

他长期从事数论及数学课程与教学论研究，发表各种论文100余篇，出版专著20余部。1991年被评为全国优秀教师并享受国务院特殊津贴，1992年被授予国家级有突出贡献的中青年专家称号。1997年被评为南京师范大学优秀学科带头人。

单墫的读音：shàn（第四声） zūn（第一声）

“单”在做姓氏时，读“shan”。中学生知道，单于的基本释义：

1. 汉时匈奴人对其君主的称呼。泛指外族首领。

2.（Chányú）姓。

最近的“毒教材事件”引人深思。加拿大数学家斯图尔特编写的微积分教材写得好，也卖得好，作者靠此项收入买了自己设计的豪宅。

单墫博士回忆自己的学生时代，在上个世纪五十年代有两本书给他留下了深刻印象，写得真好，对学习很有帮助。

一本是作者刘尼的《因式分解》，一本是数学史家许莼舫的《几何定理与证题》。这两本书好是好，可惜年代久远，现在的学生很难看到了。

顺便提一句，许莼舫先生的《中国算术故事》、《中国代数故事》和《中国几何故事》都写得极好，是很好的课外读物。