分形中的数列与迭代

[遇见数学创作小组] 作者徐琳，数学教师。

今天的主题是几何，大自然的几何，一说到几何，大家肯定不陌生，三角形，正方形，圆等，但是自然界中的形状都是三角形，正方形和圆吗，并不是，经典几何学所描绘的都是由直线或曲线，平面或曲面所构成的各种几何形状，他们是显示世界中物体形状的高度抽象。伽利略说：大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他图形。但是对于了解大自然的复杂性来讲，欧几里得几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象。

在 Mandelbrot 1975年出版的《大自然的分形几何学》一书中，有这么几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’……”分形的提出是为了更好的去描述、解释真实的大自然。也正因为此，Mandelbrot被称为“分形之父”。

最著名的分形问题是海岸线到底有多长，Mandelbrot给出的答案是：海岸线的长度是不确定的！海岸线的长度取决于测量时的尺度，就好比同样是一段路，大象和蚂蚁测量的步数绝对差很多，这是因为大象忽略了细节，而蚂蚁的路程远大于大象，这好像又给龟兔赛跑一个更合理的理论依据。

如果你仔细看一下这几幅图，你会很快总结出来分形的特征，那就是具有自相似性；具有无穷多的层次；和通常可以由一个简单的，递归、迭代的方法产生出来。

简单的、递归、迭代，只要你稍微熟悉些高中数学好像对这些定义就不陌生，没错！数列！如果说上面是图形的迭代让人很有距离感，那么数字的迭代就会很亲切。

第一次介绍分形是在高一讲授数列极限的时候，我是以这样一个问题引入：是否存在这样一个图形，具有有限的面积却拥有无限的周长？当学生找不到答案的时候，此时我会带着学生从一个正三角形(边长为 l )开始，根据下列规则进行构造：

步骤 1: 将其每边三等分；

步骤 2: 以中间的 l/3 段为边向外作正三角形；

步骤 3: 将第二步中的 l/3 边长去掉，得到一个新的多边形。

然后把这个过程无限继续下去.

接下来，计算一下无限次后的图形周长和面积。

第1次分形后周长

第2次分形后周长

第3次分形后周长

……

第 n 次分形后周长

同理可得，第 n 次分形后面积

当n趋向无穷次周长与面积：

所以我们得到了无限次后的图形周长是无穷大的，但是面积确是有限的。像这样的图形还有很多，我们把这类图形叫做Koch曲线。同时可以得到数列极限的收敛与发散的条件。

上面边两张图分别是公比 r>1, r<-1。

上面两图公比为 0<r<1, -1<r<0。

因此，我们总结出对于等比数列，当 |r|<1，数列收敛，lim a_n=Constant；当 |r|>1，数列发散，lim a_n=∞。

为了更好的理解这种迭代过程，下面会通过数据和图形给大家一个直观的感受。

分别选择几种常见的函数，作为迭代公式，在给定一个初始值的情况下，我们看一下迭代 10 次后的一个效果。

对于一次函数，如果系数大于1，则迭代结果越来越大，反之，对于

不管初始值在哪里，10 次迭代后都接近 10，如果类比上面的等比数列，一次函数的斜率可近似看做等比数列的公比，这里注意，一次函数中如果有常数项，则不是等比数列。但我们仍可以近似理解为比例，因为当 xn 无穷大时，常数项可以忽略不计。所以当 |r|<1，收敛；|r|>1，发散，似乎仍然有效。

但是当迭代包含平方，根式，分式等关系时，我们仍发现结果存在发散和收敛的情况。当我们观察的函数不局限等比等差这种规范的关系时，给出任意非线性函数，以及不同的初始值，发现在某些情况下，不断迭代的结果会趋向于一个定值，而这个值我们在数值分析中称为不动点，不动点迭代（Fixed point iteration）指的是：选择适当的初始值 x0，按照如下的迭代格式计算，

，n=0,1,2…，如果数列 {xn} 有极限

则称迭代是收敛的，x^* 是非线性方程的根和 φ(x) 的不动点。

那么对于不同的函数，什么样的情况下收敛，我们可以通过迭代回形图试着寻找一下。

以上两种情况是收敛的，我们发现 φ(x) 在 x^* 附近较平缓；

以上两种情况是发散的，我们发现 φ(x) 在 x^* 附近较陡峭。

如果结合我们之前总结的等比数列当公比,则数列有极限，类比到一般函数，此时的

，结合导数定义，因此我们可以联想到或许当 |φ'(x^*)| <1时，函数 φ(x) 收敛且有不动点。

在得到不动点结论的过程中，我们并没有严格的证明，更多的是一步步探索发现和总结，如何从问题的表向到本质，再从本质到外化，即从特殊到一般，再从一般理论到应用，这应该是发展的一般规律，也是学习的自然过程。

最后再回到分形，“分形不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。”在分形的世界中，每个人都可以是艺术家。

如果给你这样一幅画，你会不会以为这是出自哪个抽象派画家之手，但实际上这个形状仅仅出自一个纯数学的练习。Mandelbrot在TED演讲中曾介绍过分形和混沌，他总结的最后一句话。

Bottomless wonders spring from simple rules,which are repeated without end. – Benoit Mandelbrot无边的奇迹源于简单规则的无限重复。——本华·曼德博