教材一个不妥的地方，指出来和大家探讨一下，收敛的一个充分条件

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老黄在学习高数(数学分析)的教材中，发现一处不妥的地方，指出来和各路大侠共同探讨，请教一下！

收敛数列有一个充要条件，与上、下极限相关。那就是上极限等于下极限的数列收敛。但老黄这里要分享的，并不是这个充要条件，而是一个充分非必要的条件：如果一个正数列的上极限与它的互为倒数列的上极限互倒，那么这个数列就收敛。下极限有这样的关系同样成立。换句话说，两个正数列互倒，上极限也互倒，或者下极限互倒，那么这两个数列都是收敛的。而不妥的地方在教材对这个充分条件的证明中。

证明：若an>0(n=1,2,…)且(lim) ̅(n→∞)an·lim ̅(n→∞)1/a_n =1, 则数列{an}收敛.

证：∵an>0，∴ lim ̅(n→∞)an≥0，【正数列的条件可以削弱为，只有限负数项或只有限正数项 】

若lim ̅(n→∞)an=0, 则对任给的正数M，{an}中小于1/M的项有无限多个，【从这里开始，是教材证明不妥之处，就是讨论an极限为0时，教材认为，这种情况是不合理的，事实真的如此吗？】

即{1/an}中大于M的项有无限多个，∴lim ̅(n→∞)1/a_n =+∞，【教材利用上极限的充要条件，推出倒数列趋于无穷大】

与lim ̅(n→∞)an·lim ̅(n→∞) 1/an =1矛盾，【并且认为此处矛盾。老黄想说，矛盾“你”个头啊！这不就是无穷小和无穷大的积吗？只要它们等阶，那不就等于1吗？根本不矛盾好不好，因此老黄将这段证明修改如下：】

∵an>0，∴ lim ̅(n→∞)an≥0，▁lim(n→∞)an≥0，且lim ̅(n→∞)an≥▁lim(n→∞)an.【对于正数列，不仅上极限不小于0，下极限也不小于0，且上极限不小于下极限】

若lim ̅(n→∞)an=0, 则(lim) ̅(n→∞)an=▁lim(n→∞)an=0，【既然上极限等于0，下极限不小于0又不大于上极限，那下极限就只能也等于0了】

∴{an}收敛，得证！【上极限和下极限相等，且都等于0，极限就等于0，因此原数列收敛，并不需要运用到互倒数列的关系。不过这里也可以拓展出一个定理，就是无穷小的倒数，是它的等阶无穷大】

若lim ̅(n→∞)an>0，【教材这里说，所以上极限大于0，老黄想说，所以“你”个头啊，那是两种情况分类讨论好不好】

又lim ̅(n→∞)an=1/(▁lim(n→∞)1/a_n), 【这是互倒数列的上极限与下极限的关系，在老黄此前的作品中有过证明】

∴(lim) ̅(n→∞)an·1/(▁lim(n→∞) an ) =1，【上式与互倒正数列上极限积等于1的已知条件进行等量替换的结果】

即lim ̅(n→∞)an=▁lim(n→∞)an，∴{an}收敛.

类似地，可以证明：▁lim(n→∞)an·▁lim(n→∞)1/an =1时, {an}收敛.

最后一个问题，这个定理为什么不能成为收敛数列的必要条件，从而上升为充要条件呢？那是因为定理中规定，不能同时有无限多项大于0，也有无限多项小于0，但是收敛于0的数列，是可能出现大于0的项和小于0的项都有无限多的。所以不成为必要条件。你明白了吗？