《重读相对论》1.4 空间度量

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1.4 空间度量

如果运动变化是物体本身的性质，那么首先就要搞明白：世间万物的容器是什么？一切运动变化的舞台又是什么？也即，时空的定义究竟是什么？对于空间的概念，亚里士多德这样描述：空间乃是某一事物的直接包围者，而又不是该事物的部分；直接空间既不大于、也不小于内容物，即空间的大小等于内容物的大小；空间可以在内容物离开以后留下来，因而是可分离的。对于时间，亚里士多德这样解释：时间不能脱离运动，然而它又不是运动本身，时间的一部分曾经存在过，现在已经消失，它的另一部分有待产生，现在尚未到来。并且，无论是无限的时间，还是随便挑取的其中任何一段，都是由这两部分合成的。

显然，亚里士多德对时空的定义要比柏拉图那种诗意的语言清晰明确的多。从这些表述当中，我们不难发现三点：第一、时空是与具体事物不同的一种特殊存在，但它依然真实的存在着；第二、时空是和物质运动是紧密相关的；第三、时空存在“部分整体”、“大于小于”的关系，是可以量化描述的物理量。事物一旦可以量化分析了，立刻就与数学取得了紧密的联系，从而可以纳入理性的范畴之中，有望以逻辑推理的方式构造出一个严谨而缜密的知识体系。既然空间是世间万物的容器，我们又如何通过数学的方式对度量空间的大小呢？

空间无声无息，数字无影无形；空间浩渺无际，数字无始无终；空间无限可分，数字任意精确。看来，数字和空间的相似度极高。然而，要想通过数字描述空间，我们首先要解决的却是单位1的问题！是的，一切数字的基础是自然数，一切自然数的基础又是单位1，从1开始，经过加减乘除、乘方开方的运算，就得到了正数、负数、分数、小数、有理数和无理数，那么空间中的1又在哪里呢？

无论是空间还是数字，都是对外物的度量，因此，要想把空间和数字连接起来，要想确定空间中的单位1，我们也必须通过外物的帮助才能实现。然而世间的物体纷繁复杂， 我们又要选用什么样的物体度量空间呢？这又要依赖于数字本身的特性。首先：在数字中，1是最基本的单位，因此单位1必须有高度的稳定性，与之相对应的，我们必须使用形状相对稳定的固体作为工具来度量空间的大小；其次：连续自然数之间的间隔是均匀的，因此度量空间的工具也必须具有均匀的间隔；最后：数字有从小到大或从大到小的两个相反的方向，所以度量空间的工具必须是平直的，因为只有直线才具备这种方向性。综合以上三个特征：如果我们在一个平直的固体表面刻画上均匀的刻度，就产生了度量空间的工具：带有均匀刻度的直尺。

请注意，我们之所以认为空间是平直均匀的，并不是因为空间在“客观上”是平直均匀的，而是我们的祖先从世间万物的数量中首先抽象出了自然数的概念，因为自然数是平直均匀的，所以我们造出了平直均匀的直尺，又因为直尺是平直均匀的，所以我们才误以为空间也是平直均匀的。也就是说，我们的理性创造了自然数的概念，并把这个概念映射到了空间范围之内。我们这个观念是如此之强烈，以至于即使我们自己亲自推导出空间是弯曲的，我们在思想层面上都万难接受！是的，空间未必平直、也未必均匀。然而，空间和自然数之间还是存在某种不以人的意志为转移的确定关系，那就是空间的三维特征。

如果我问你，为什么空间恰好有三个维度？你一定会说，那是因为上下，前后，左右这六个方向恰好形成了三条相互垂直的直线。然而，谁又规定了维度必须是垂直的呢？难道左前方和右后方就不能形成一条直线吗？为什么这条直线就不能称之为一个独立的维度呢？你可能认为这只是一个人为的约定，就像我们必须规定多长叫做一米，多重叫做一克一样。我们人为规定了必须张开多大角度才能叫做一个维度。错了，维度就是空间本身所固有的特性，几乎不带有任何“刻意为之”的人工痕迹。

在度量空间时：面积的单位是平方米，其含义是边长为1米的正方形的面积；体积的单位是立方米，含义是棱长为1米的立方体的体积。毫无疑问，这都是因为我们事先规定了长度的单位为米，所以才产生了面积和体积的单位。然而，我们为什么一定要把某个正方形的大小规定为面积单位？我们为什么不把直径为1米的圆的面积规定为一圆周米？或者把一个边长为1的五边形面积规定为五方米？当我们遇到面积更大的物体时，就不能用圆周米或五方米来度量它吗？如果仅从数字的角度来讲，这样的人为规定不存在任何问题。问题恰恰存在于空间本身：

不妨设想一下，我们能否只用圆形的瓷砖就把一片土地铺满呢？不能！这就意味着，在一个平面空间内，我们没办法把一个面积更大的图形均匀的切割为几个标准的圆形。在圆形和圆形之间一定会留有缝隙，而且这个缝隙的形状很奇特，是无法通过圆的面积来度量的。要想确定面积的单位1，我们只能把一块土地均匀切分成等大的正多边形，而要想满足这个条件，这个正多边形就必须同时具备三个特征：

1、它的外角和内角相加等于一个平角；

2、周角必须是其外角的整数倍；

3、周角也必须是其内角的整数倍。

而同时具备这个特征的正多边形只有三个：正三角形，正方形和正六边形。不信你可以尝试一下，用正三角形和正六边形的瓷砖，完全可以把一块土地不留缝隙的铺满。也就是说，如果我们只需要考虑面积的度量，完全可以把面积的单位1规定为一个边长为1的正三角形的面积或者正六边形的面积。然而，我们为什么选择了边长为1的正方形呢？因为我们还要度量体积的大小。

由正多边形拼合而成的多面体叫做正多面体：我们常见的正方体就是由正方形拼合成的正六面体。而如果我们把四个正三角形拼合在一起，也可以形成一个正四面体。然而问题在于，虽然我们用任意多条等长线段首位相接就可以在平面上凑成正多边形，但却不是所有的正多边形拼合起来都能成为对应的正多面体。世界上所有的正多面体一共只有五种，分别是：正4面体，正6面体，正8面体，正12面体和正20面体。而要想用一些正多面体把一个更大的空间无缝的填满，就只能选用正方体。也正是因为这样，我们才选择正方体的体积做单位1呢？而在正方体上，每个顶点的三条边都是相互垂直的，因此空间也只能分解为彼此正交的三个维度。

有了三个维度的划分，则空间和数字之间的关系就更加紧密了，它们的关系已不仅仅局限于数字和空间大小的一一对应，数字和数字之间的一切加减乘除、乘方开方的运算规律，全部都可以应用到空间测量之中。就这样，我们通过对多面体的理性分析，最终发现了空间的度量方式。

那么，存在于空间中的物体是真实的吗？为什么同一个物体从不同角度观察到的形状不同呢？今天的我们当然知道，这是因为三维的物体在视网膜上只能呈现出二维的影像。但即使不通过这种方式解释，我们仍然能够证明物体是真实存在的，因为虽然从不同角度看到的物体影像不同，但同一物体的不同影像之间也存在着三个重要的特征：

第一、无论从任何角度观察，物体的形状只会发生一定的扭曲和切变，而不会发生根本的变化，比如：一个三角形，无论从任何角度去看它都不能变成圆形或者四边形；

第二、因为形状没有根本的变化，所以，物体所属形状的几何规律不变，例如一个三角形，无论从任何角度去看，它的内角和依然是180度；

第三、虽然观察物体时会发生远大近小的变化，但是，如果两个物体离我们的空间距离相等，则两个物体的大小比例也不会发生改变。

也就是说，对于同一个物体而言，虽然不同角度看到的影像不同，但这些不同之中依然隐藏着某些相同的东西。这就足以证明三维空间中的物体是真实存在的。那么，物体的“真实大小”是什么，一个形状的“真实角度”又是什么呢？对此，只要我们给出适当的约定即可。由于存在近大远小的视觉规律，所以我们规定：刻度尺和物体贴合在一起时测量到的长度就是真实长度。由于同一个角度从不同方向观察会看到不同的大小，所以我们规定，当量角器和物体贴合到一起时，我们从正面观察到的角度才是真实角度。

在同一时间和空间内，原来彼此分离的两个物体完美的覆盖重合到一起叫做“符合”。也就是说，在亚里士多德看来，只要我们的测量工具和实物能够符合到一起，得到的就是真实尺寸，同理，只要我们的观念符合事实，得到的就是真理。