减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则原标题:矩阵的运算及其运算规则今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算一、矩阵的加法与减法1、运算规则  设矩阵则清北学堂信息学金牌教研团队提醒,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的.2、运算性质(假设运算都是可行的)  满足交换律和结合律交换律;结合律.二、矩阵与数的…

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原标题:矩阵的运算及其运算规则

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今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算

一、矩阵的加法与减法

1、运算规则  设矩阵

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清北学堂信息学金牌教研团队提醒,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的.2、运算性质(假设运算都是可行的)  满足交换律和结合律

交换律

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结合律

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二、矩阵与数的乘法

1、运算规则数

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乘矩阵A,就是将数

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乘矩阵A中的每一个元素,记为

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.  特别地,称

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称为

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的负矩阵.

2、运算性质  满足结合律和分配律结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA.分配律:λ(A+B)=λA+λB.典型例题例6.5.1 已知两个矩阵

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满足矩阵方程

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,求未知矩阵

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.解 由已知条件知

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三、矩阵与矩阵的乘法

1、运算规则  设

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,则A与B的乘积

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是这样一个矩阵:  (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即

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.  (2) C的第

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行第

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列的元素

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由A的第

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行元素与B的第

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列元素对应相乘,再取乘积之和.典型例题例6.5.2 设矩阵

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计算

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的矩阵.设它为

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想一想:设列矩阵

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,行矩阵

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的行数和列数分别是多少呢

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是3×3的矩阵,

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是1×1的矩阵,即

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只有一个元素.课堂练习  1、设

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,求

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2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算.

3、设列矩阵

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,行矩阵

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,求

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,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?

4、设三阶方阵

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,三阶单位阵为

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,试求

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减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论.

解:  第1题

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.  第2题  对于

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.  求

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则是有意义的,而

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则是无意义的.

清北学堂信息学金牌教研团队结论

结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数=右矩阵的行数.

第3题

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减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则矩阵,

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减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则的矩阵.

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结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在

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减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则均有意义时,也未必有

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则=

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则成立.可见矩阵乘法不满足交换律.

第4题  计算得:

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结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即

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.  单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用.典型例题例6.5.3 设

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,试计算

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.解

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结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,不能得出

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减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则的结论.

例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组

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可以写成矩阵的形式

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若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

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,  则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:

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2、运算性质(假设运算都是可行的)

(1) 结合律

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.  (2) 分配律

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(左分配律);

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(右分配律).  (3)

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3、方阵的幂定义:设A是方阵,

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则是一个正整数,规定

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显然,记号

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则表示

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则个A的连乘积.

下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置

四、矩阵的转置

1、定义

定义:将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作

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.例如,矩阵

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的转置矩阵为

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2、运算性质(假设运算都是可行的)

(1)

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(2)

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(3)

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(4)

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是常数.

2、运算性质(假设运算都是可行的)

(1)

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(2)

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(3)

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(4)

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是常数.典型例题

例6.5.5 利用矩阵

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验证运算性质:

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所以

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定义:如果方阵满足

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,即

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,则称A为对称矩阵.

对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.

五、方阵的行列式

1、定义

定义:由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作

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2、运算性质  (1)

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(行列式的性质)  (2)

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,特别地:

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(3)

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(

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是常数,A的阶数为n)思考:设A为

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阶方阵,那么

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的行列式

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与A的行列式

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之间的关系为什么不是

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,而是

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?  不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下

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.  例如

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,则

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.  于是

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,而

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.思考:设

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,有几种方法可以求

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?解 方法一:先求矩阵乘法

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,得到一个二阶方阵,再求其行列式.    方法二:先分别求行列式

减法公式运算法则_矩阵的运算及其运算规则,再取它们的乘积.

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