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原标题:矩阵的运算及其运算规则
今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算
一、矩阵的加法与减法
1、运算规则 设矩阵
则
清北学堂信息学金牌教研团队提醒,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的.2、运算性质(假设运算都是可行的) 满足交换律和结合律
交换律
;
结合律
.
二、矩阵与数的乘法
1、运算规则数
乘矩阵A,就是将数
乘矩阵A中的每一个元素,记为
或
. 特别地,称
称为
的负矩阵.
2、运算性质 满足结合律和分配律结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA.分配律:λ(A+B)=λA+λB.典型例题例6.5.1 已知两个矩阵
满足矩阵方程
,求未知矩阵
.解 由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、运算规则 设
,
,则A与B的乘积
是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即
. (2) C的第
行第
列的元素
由A的第
行元素与B的第
列元素对应相乘,再取乘积之和.典型例题例6.5.2 设矩阵
计算
解
是
的矩阵.设它为
想一想:设列矩阵
,行矩阵
,
和
的行数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵,
是1×1的矩阵,即
只有一个元素.课堂练习 1、设
,
,求
.
2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算.
3、设列矩阵
,行矩阵
,求
和
,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?
4、设三阶方阵
,三阶单位阵为
,试求
和
,并将计算结果与A比较,看有什么样的结论.
解: 第1题
. 第2题 对于
,
. 求
是有意义的,而
是无意义的.
清北学堂信息学金牌教研团队结论
结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数=右矩阵的行数.
第3题
是
矩阵,
是
的矩阵.
.
结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在
与
均有意义时,也未必有
=
成立.可见矩阵乘法不满足交换律.
第4题 计算得:
.
结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即
. 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用.典型例题例6.5.3 设
,试计算
和
.解
.
结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若
,不能得出
或
的结论.
例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组
可以写成矩阵的形式
=
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
,
,
, 则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式:
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1) 结合律
. (2) 分配律
(左分配律);
(右分配律). (3)
3、方阵的幂定义:设A是方阵,
是一个正整数,规定
,
显然,记号
表示
个A的连乘积.
下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置
四、矩阵的转置
1、定义
定义:将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作
或
.例如,矩阵
的转置矩阵为
.
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)
(2)
(3)
(4)
,
是常数.
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)
(2)
(3)
(4)
,
是常数.典型例题
例6.5.5 利用矩阵
验证运算性质:
解
而
所以
.
定义:如果方阵满足
,即
,则称A为对称矩阵.
对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.
五、方阵的行列式
1、定义
定义:由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作
或
2、运算性质 (1)
(行列式的性质) (2)
,特别地:
(3)
(
是常数,A的阶数为n)思考:设A为
阶方阵,那么
的行列式
与A的行列式
之间的关系为什么不是
,而是
? 不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下
和
. 例如
,则
. 于是
,而
.思考:设
,有几种方法可以求
?解 方法一:先求矩阵乘法
,得到一个二阶方阵,再求其行列式. 方法二:先分别求行列式
,再取它们的乘积.
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