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专题：对勾函数
.
基本不等式与对勾函数
一、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质 x
性质：
1. 定义域： (,0) (0,)
2. 值域： (,2 ab) (2 ab,)
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾” 的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
f (x) f (x) 0
4. 图像在一、三象限
当 x0 时 ， 由 基 本 不 等 式 知
y ax b 2 ab (当且仅当 x b 取等号)， 即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab
x
a
a
由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a
5. 单调性：增区间为( b , )，( , b ) 减区间是(0， b )，( b ,0)
a
a
a
a
一、对勾函数的变形形式
类型一：函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质 x
此函数与对勾函数 y (a)x (b) 关于原点对称，故函数图像为 x
性质：
‘.
.
类型二：斜勾函数 y ax b (ab 0) x
① a 0,b 0 作图如下
性质：
② a 0,b 0 作图如下：
类型三：函数 f (x) ax2 bx c (ac 0) x
此类函数可变形为 f (x) ax c b ，则 f (x) 可由对勾函数 y ax c 上下平移得到
x
x
例 1 作函数 f (x) x2 x 1 的草图 x
解： f (x) x2 x 1 f (x) x 1 1作图如下：
x
x
类型四：函数 f (x) x a (a 0, k 0) xk
此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f (x) 可由对勾函数 y x a 左右平移，上下平移得到
xk
x
例 2 作函数 f (x) x 1 的草图 x2
解： f (x) x 1 f (x) x 2 1 2 作图如下：
x2
x2
例 3 作函数 f (x) x 3 x 的作图： x2
‘.
.
解： f (x) x 3 x f (x) x 2 1 x 1 1 x x
2020-07-07
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对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x 的函数，是 一种教材上没有但考试老喜欢考的函数， 所以更加要注意和学习。 一般的函数图像形似两个中心对称的 对勾，故名。当 x>0 时，f(x)=ax+b/x 有最小值(这里为了研究方便，规定 a>0，b>0) ，也就是当 x=
b a
的时候。同时它是奇函数，就可以推导出 x<0 时的性质。令 k=
b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}； a
减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
ab 。 现在把 ax+b/x 套用 这个 公式 ，得 到
ax+b/x≥2
ab b ＝2 ab ，这里有个规定：当且仅当 ax=b/x 时取到最小值，解出 x= ，对应的 x a
f(x)=2 ab 。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥ ab ，前式大家都知道，是求平 均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的 则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌 握。举几个例子： f(x)=ax+
1 =x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，x 为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有 x
b =ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为 a+(-b)x-2，令 f'(x)=0，计算得到 b=ax2，结果 x b ，如果需要的话算出 f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那 a
仍然是 x=
个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时 ax≠b/x，就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在 x>0 的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图
2011-12-30
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(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用
一、对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质：
x
1. 定义域： (,0) (0,)
2. 值域： (,2 ab] [2 ab,)
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，
且函数图像关于原点呈中心对称，即 f (x) f (x) 0
4. 图像在一、三象限, 当 x 0 时，y ax b 2 ab(当 x
且仅当 x b 取等号)，即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab
a
a
由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab
a
5. 单调性：增区间为( b , )，( , b ),减区间是(0， b )，( b ,0)
a
a
a
a
二、对勾函数的变形形式
类型一：函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质
x
1.定义域： (,0) (0,)
2.值域： (,2 ab] [2 ab,)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取
a
最小值 2 ab ；当 x 0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab
a
5.单调性：增区间为(0， b )，( b ,0)减区间是( b , )，( , b ),
a
a
a
a
类型二：斜勾函数 y ax b (ab 0) x
① a 0,b 0 作图如下
1.定义域： (,0) (0,) 2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为(- ，0)，(0，+ ).
1
② a 0,b 0 作图如下：
1.定义域： (,0) (0,) 2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为(- ，0)，(0，+ ).
类型三：函数 f (x) ax2 bx c (ac 0) 。 x
此类函数可变形为
f
(x)
ax
c x
b
，可由对勾函数
y
ax
c x
上下平移得到
练习 1.函数 f (x) x2 x
2020-05-15
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对勾函数绝对经典
对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质
繁华分享
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的 函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+ (接下来写作 f(x)=ax+b/x)。
当 a≠0，b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个 观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y＝ax 与双曲线 y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对 勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
a>0 b>0
a<0
b<0
对勾函数的图像(ab 同号) 当 a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠
加”而成。(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。)
对勾函数的图像(ab 异号)
一般地，我们认为对 勾 函 数 是 反 比 例 函 数 的 一 个 延 伸 ， 即 对 勾 函 数 也 是 双 曲 线 的 一 种 ， 只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定 a>0，b>0。之后当 a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出 结论了。
(二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到：
当 x>0 时，
当 x<0 时， 即对勾函数的定点坐标：
。 。
(三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性
(五) 对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到：
y
(六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数，
O
X
y=ax
利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数 y x2 2x 4 的最小值。
x2 2x 3
解：令 t x2 2x 3 ，则 t (x 1)2 2 2
y t2 1 t 1
t
t
根据对号函数 y t 1 在(1，+∞)上是增函数及 t 的取值范围，当 t 2
2020-06-15
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对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的 函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+(接下来写作 f(x)=ax+b/x)。
当 a≠0，b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的 函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y＝ax 与双曲线 y= b/x 构成，形状酷似双勾。 故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
a>0 b>0
a<0 b<0
对勾函数的图像(ab 同号)
当 a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠 加”而成。(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。)
对勾函数的图像(ab 异号)
一般地，我们认为对 勾 函 数 是 反 比 例 函 数 的 一 个 延 伸 ， 即 对 勾 函 数 也 是 双 曲 线 的 一 种 ， 只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定 a>0，b>0。之后当 a<0，b<0 时，根据对称就很容易得 出结论了。
(二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到：
当 x>0 时，
。
当 x<0 时，
。
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性
(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到：
(六) 对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数，
y
O
X
y=ax
2020-05-31
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对勾函数.ppt
2020-05-03
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对勾函数的性质
百度文库
对勾函数的图象及其性质 ，是一种类似于的一般函数。所谓的，是形如 f x x a (a 0) 的函数，是一种教材上没有但考
x
试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的形似两个的对勾，故名，又被称为“双勾函数”、”勾函 数”等。也被形象称为“耐克函数”
问题 1：已知函数 f x x 1 ，
x
(1) 求该函数的定义域； (2) 判断该函数的单调性和奇偶性； (3) 求该函数的值域； (4) 画出该函数的图像。
y
o x
问题 2：由函数 f x x 1 的图像性质类比出函数 f x x a (a 0) 的性质。
x
x
1
1、定义域：x x 0
2、值域： ,2 a 2 a, ，
百度文库
在正数部分仅当 x= a 取最小值 2 a ，在负数部 分仅当 x= a 取最大值-2 a
3、：，关于
4、： , a 单调递增 [ a ,0)] 单调递减 (0,
a ] 单调递减 [ a ，+∞) 单调递增
问题 3：如果函数 f x x 2b 在 0,4上单调递减，在 4,上单调递增，求实数 b 的值。
x
问题 4：当 f x x a 中的条件变为 a 0时，单调性怎样？
x
例 1、求函数 f x x 3 在下列条件下的值域。
x
(1) ,0 0, ； (2) 0,2 ； (3) 3,2；
(4) 1,2；
例 2 、函数 f x x a (a 0) 在区间 m, n(m 0) 取得最大值 6，取得最小值 2，那么此函数在区间
x
n,m上是否存在最值？请说明理由。
例 3、求下列函数的值域。
(1)
f
(x)
x x2 1
(2) f (x) x2 3x 2 x
(3) f (x) x 5 x 1
练习：
1、已知函数 f (x) x ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； x 1
2、求函数
f
(x)
x2 x2
3 的值域； 3
3、 求函数 f (x) 3 在[2,5] 上的最大值和最小值。 x 1
4、 函数 f (x) 2x 5 的值域是 ,0 4, ，求此函数的定义域。
x3
2
百度文库
5、 已知函数 f (x) x2 2x a ， x 1
2020-07-14
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对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数,是形如 f(x)=ax+b/x 的函数,是 一种教材上没有但考试老喜欢考的函数, 所以更加要注意和学习. 一般的函数图像形似两个中心对称的 对勾, 故名. x>0 时, 当 f(x)=ax+b/x 有最小值 (这里为了研究方便, 规定 a>0, b>0) 也就是当 x=sqrt(b/a) , 的时候(sqrt 表示求二次方根) .同时它是奇函数,就可以推导出 x<0 时的性质.令 k=sqrt(b/a),那么, 增区间:{x|x≤-k}∪{x|x≥k};减区间:{x|-k≤x<0}∪{x|0
2009-12-20
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最新对勾函数详细分析【精选】整理版
一.对勾函数
对勾函数的性质及应用 的图像与性质：
1. 定义域：(-∞，0)∪(0，+∞)
2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即
4. 图像在一、三象限, 当
时，
2√ab(当且仅当
取等号)，即
在 x=
时，取最小值
由奇函数性质知：当 x<0 时， 在 x= 时，取最大值
5. 单调性：增区间为(
)，(
),减区间是(0， )，( ,0)
1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数
的图像与性质
1.定义域：
2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当 x<0 时，
在 x= 时，取
最小值
；当
时，
在 x= 时，取最大值
5.单调性：增区间为(0， )，( ,0)减区间是(
)，(
),
类型二：斜勾函数
①
作图如下
1.定义域：
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
生活不会辜负努力的人
5.单调性：增区间为(- ，0)，(0，+ ).
②
作图如下：
1.定义域：
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为(- ，0)，(0，+ ).
类型三：函数 此类函数可变形为
。 ，可由对勾函数
上下平移得到
练习 1.函数
的对称中心为
类型四：函数 此类函数可变形为 练习 1.作函数
2.求函数 3. 求函数
，则 可由对勾函数
与
的草图
在
上的最低点坐标
的单调区间及对称中心
左右平移，上下平移得到
类型五：函数
。此类函数定义域为 ，且可变形为
a.若
，图像如下：
1．定义域：
2. 值域：
3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当
时，
在
时，
在 x=
时，取最小值
5. 单调性：减区间为(
)，(
)；增区间是
时，取最大值 ，当 x<0
生活不会辜负努力的人
练习 1.函数
的在区间
上的值域为
b. 若
，作出函数图像：
1．定 义 域 ：
2. 值 域 ：
3. 奇偶性：奇函数.
2019-01-10
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对勾函数
对勾函数
对勾函数:图像,性质,单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数,见图示: http://maths352.blogchina.com/maths352/3814527.html
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数,是形如 f(x)=ax+b/x 的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意和 学习.一般的函数图像形似两个中心对称的对勾,故名.当 x>0时,f(x)=ax+b/x 有最 小值(这里为了研究方便,规定 a>0,b>0) ,也就是当 x=sqrt(b/a)的时候(sqrt 表示 求二次方根) .同时它是奇函数,就可以推导出 x<0时的性质.令 k=sqrt(b/a),那么, 增区间:{x|x≤-k}∪{x|x≥k};减区间:{x|-k≤x<0}和{x|0
均数绝对不会小于几何平均数.这些知识点也是非常重要的. 其实用导数也可以研究对勾函数的性质.不过首先要会负指数幂的换算,这也很 简单,但要熟练掌握.举几个例子:1/x=x^-1,4/x^2=4x^-2.明白了吧,x 为分母的 时候可以转化成负指数幂.那么就有 f(x)=ax+b/x=ax+bx-1,求导方法一样,求的的 导函数为 a+(-b)x^-2,令 f'(x)=0,计算得到 b=ax2,结果仍然是
2010-02-26
2158人浏览
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