Dini定理的一个证明——利用有限覆盖定理

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笔者使用的数学分析教材为陈纪修、於崇华、金路教授编著的《数学分析（第三版）》，学习期间自行发现了Dini定理的一个新证法，特于此记录，方便日后对比学习。

　　Dini定理 设函数序列{S_n(x)}在闭区间[a, b]上点态收敛于S(x)，如果

1. S_n(x)（n = 1,2,…）在[a, b]上连续；
2. S(x) 在[a, b]上连续；
3. {S_n(x)}关于n单调，即对任意固定的x∈[a, b]，{Sn(x)}是单调数列，

则{S_n(x)}在[a, b]上一致收敛于S(x).

  证 ∀x∈[a, b] ∀ε > 0, ∃N_x ∈ N, st. ∀n ≥ N_x  |S_n(x) – S(x)| < ε/3

       ∃δ_x > 0  st. ∀ y ∈ (x – δ_x, x + δ_x), |S(y) – S(x)| < ε/3

       ∃δ_x,Nx > 0  st. ∀ y ∈ (x – δ_x,Nx, x + δ_x,Nx), |S_Nx(y) – S_Nx(x)| < ε/3

       取δ_x^‘ = min{δ_x, δ_x,Nx}

       ∀ y ∈ (x – δ_x^‘, x + δ_x^‘), |S(y) – S_Nx(y)| < |S(y) – S(x)| + |S(x) – SNx(x)| + |S_Nx(x) – S_Nx(y)| < ε

       再根据S_n(x)的单调性可知，|S(y) – Sn(y)| ≤ |S(y) – S_Nx(y)| < ε ( ∀n ≥ N_x )

       集合 {(x – δ_x^‘, x + δ_x^‘)| x∈[a, b]} 构成了区间[a ,b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理可知，

       ∃x₁,x_2,…,x_m ∈[a, b], st. {(x_i – δ_xi^‘, x_i + δ_xi^‘)| i∈{1, 2, …, m} }是[a, b]的一个开覆盖

       取N = max{N_x1, N_{x2, …,} N_xm}，可知 ∀n ≥ N   |S_n(x) – S(x)| < ε 对 ∀x∈[a, b]都成立，即一致收敛 □

8.19 博文：利用多种实数系基本定理证明Dini定理 是更进一步的讨论