图文详解海明校验码，通俗易懂，仔细看完就会了

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海明校验码

海明校验码的准则：

• 1.校验码必须放在2的幂次上(2ⁿ),n为0,1,2,3,….
• 2.满足 k+r+1 <= 2^r，k为信息位的长度,r为校验码长度

例：求信息 1011 的海明码。

方法一：

已知：k为4，则需要满足 4+r+1 <= 2^r , 可知 r=3 时公式成立，校验码长度为3。校验码的位置为 2⁰、2¹、2²（1、2、4），海明码长度(信息位+校验位)为4+3=7。

当前信息位由那几个校验位决定？其规律是：第i位信息位，由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验。
例如：I₀是由r₁和r₀决定的。3=2¹+2⁰=2+1
可得信息位7、6、5、3的校验位分别是哪几个。
7=2²+2¹+2⁰=4+2+1，6=2²+2¹=4+2，5=2²+2⁰=4+1，3=2¹+2⁰=2+1

可见下表：

校验位的值与数据位相关，例如：r₂(位号:4)与信息位I₄ 、 I₃ 、 I₂ 有关。

异或⊕(xor)运算（同为0，异为1）

r₂ = I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₂ = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₁ = I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₁ = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₀ = I₄ ⊕ I₂ ⊕ I₁ = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1

多个异或运算规律：
算式中1的个数为奇数，结果为1；算式中1的个数为偶数，结果为0（注：0个也是偶数个）

可得海明码为：1010101

方法二（推荐）：

已知：k为4，则需要满足 4+r+1 <= 2^r , 可知 r=3 时公式成立，校验码长度为3。校验码的位置为 2⁰、2¹、2²（1、2、4），海明码长度(信息位+校验位)为4+3=7。

将位数取对应的二进制数，把校验位放入相应位置得：

校验位r下标i与信息位二进制位置i为1的位数相对应，例如r₁ ：

r₁ = 3 ⊕ 5 ⊕ 7 = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1

r₂对应的是：

同理可得r₃ ：

可得海明码为：1010101

校验1：若收到的信息为1011101（第4位出错，从左往右数）
接收方需要采用上面的方法进行计算，并加上校验位自身，则：

r₂ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₂ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1
r₁ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₁ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₀ ⊕ I₄ ⊕ I₂ ⊕ I₁ = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0

100代表第 2² = 4 位置出错，取反就可以得到正确的值了。

校验2：若收到的信息为1010100（第1位出错，从左往右数）

r₂ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₂ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₁ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₁ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₀ ⊕ I₄ ⊕ I₂ ⊕ I₁ = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1

001代表第 2⁰ = 1 位置出错，取反就可以得到正确的值了。