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高等代数9 欧几里得空间
- 高等代数9 欧几里得空间
- 定义与基本性质
- 内积 欧几里得空间
- 常见的欧几里得空间举例
- 长度
- 单位向量
- 单位化
- 不等式
- 柯西—布涅柯夫斯基不等式
- 夹角
- 垂直 正交
- 度量矩阵
- 内积 欧几里得空间
- 标准正交基
- 求标准正交基
- 扩充
- 施密特正交化
- 从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式
- 正交矩阵
- 求标准正交基
- 同构
- 正交变换
- 子空间
- 实对称矩阵的标准形
- 向量到子空间的距离 最小二乘法
定义与基本性质
内积 欧几里得空间
设\(V\)是实数域\(R\)上的一线性空间,在\(V\)上定义了一个二元函数,称为内积,记作\((\alpha,\beta)\),它具有以下性质:
- \((\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\)
- \((k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)\)
- \((\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\alpha,\gamma)\)
- \((\alpha,\alpha)\geq 0\),当且仅当\(\alpha=0\)时\((\alpha,\alpha)=0\)
在这里\(\alpha,\beta,\gamma\)是\(V\)中任意的向量,\(k\)是任意的实数,这样的线性空间称欧几里得空间或简称为欧氏空间
常见的欧几里得空间举例
-
线性空间\(R^n\),对于向量\(\alpha=(a_1,a,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\),
定义内积 \((\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\)
长度
-
定义
非负实数\(\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)称为向量\(\alpha\)的长度,记作\(|\alpha|\)。
\(|k\alpha|=\sqrt{(k\alpha,k\alpha)}= \sqrt{k^2(\alpha,\alpha)}=|k||\alpha|\)
单位向量
长度为1的向量称为单位向量
单位化
用向量\(\alpha\)的长度去除向量\(\alpha\),得到一个与\(\alpha\)成比例的单位向量,通常称把\(\alpha\)单位化。
\(\frac{1}{|\alpha|}\alpha\)
不等式
柯西—布涅柯夫斯基不等式
-
柯西—布涅柯夫斯基不等式
对任意的向量\(\alpha、\beta\)有
\[|(\alpha,\beta)|\leq |\alpha| |\beta| \]当且仅当\(\alpha,\beta\)线性相关时,等号成立。
夹角
-
定义 夹角
非零向量\(\alpha,\beta\)的夹角定义为
\(<\alpha,\beta>=arccos\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|},0\leq \ <\alpha,\beta> \ \leq \pi\)
垂直 正交
-
定义 垂直 正交
如果向量\(\alpha,\beta\)的内积为零,即 \((\alpha,\beta)=0\),
那么\(\alpha,\beta\)称为正交或互相垂直,记作\(\alpha \perp \beta\)
勾股定理
当向量\(\alpha,\beta\)正交时 \(|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2\)
当向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)两两正交时 \(|\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m|^2=|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2+\cdots+|\alpha_m|^2\)
度量矩阵
设\(V\)是一个\(n\)维欧几里得空间,在\(V\)中取一组基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\),对\(V\)中任意两个向量
\(\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n \\\beta=y_1\varepsilon_1+y_2\varepsilon_2+\cdots+y_n\varepsilon_n\)
根据乘积的性质得
令 \(a_{ij}=(\varepsilon_i,\varepsilon_j) \ \ (i,j=1,2,\cdots,n) \\a_{ij=a_{ji}}\)
于是
\(X,Y\)分别是\(\alpha,\beta\)的坐标,而矩阵\(A=(a_{ij})_{nn}\)称为基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)的度量矩阵。
- 不同基的度量矩阵是合同的
- 度量矩阵是正定的
标准正交基
-
定义 正交向量组
欧氏空间\(V\)中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为正交向量组。
正交向量组是线性无关的。
-
定义 标准正交基
在\(n\)维欧氏空间中,由\(n\)个向量组组成的正交向量组称为正交基
由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
一组基为标准正交基的充分必要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵
在\(n\)维欧式空间中,标准正交基是存在的。
在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来
在标准正交基下,内积具有简单的形式
求标准正交基
扩充
从任意非零向量出发,逐个扩充,得到正交基;再单位化得到标准正交基。
-
定理
\(n\)维欧式空间中的任一个正交向量组都能扩充为一组正交基。
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)是一正交向量组
因为\(m <n\)一定还有向量\(\beta\)不能被\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性表出
做向量\(\alpha_m=\beta-k_1\alpha_1-k_2\alpha_2-\cdots-k_m\alpha_m\),这里\(k_1,\cdots,k_m\)是待定系数。
用\(\alpha_i\)与\(\alpha_{m+1}\)作内积,得\((\alpha_i,\alpha_{m+1})=(\beta,\alpha_i)-k_i(\alpha_i,\alpha_i)(i=1,2,\cdots,m)\)
取\(k_i=\frac{(\beta,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} (i=1,2,\cdots,m)\)
有\((\alpha_i,\alpha_{m+1})=0(i=1,2,\cdots,m)\)
由\(\beta\)的选择可知\(\alpha_{m+1}\neq 0\)
因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1}\)是一正交向量组。
施密特正交化
把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组
-
对于\(n\)维欧氏空间中任意一组基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\),都可以找到一组标准正交基\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\),使
\(L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i),i=1,2,\cdots,n\)
\(L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i),i=1,2,\cdots,n\)就相当于由基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)到基\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\)的过渡矩阵是上三角形的。
例
从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式
矩阵\(A\)的各列就是\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\)在标准正交基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的坐标,按着公式(5),公式(6)可以写成
正交矩阵
-
定义 正交矩阵
\(n\)级实数矩阵\(A\)称为正交矩阵,如果\(A’A=E\)
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基也一定是标准正交基。
同构
-
定义
实数域\(R\)上欧氏空间\(V\)与\(V’\)称为同构的,如果由\(V\)到\(V’\)有一个双射\(\sigma\),满足
- \(\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)\);
- \(\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)\);
- \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)\)
这里\(\alpha ,\beta \in V,k\in R\)
这样的映射称为从\(V\)到\(V’\)的同构映射。
从定义可以看出,如果\(\sigma\)是欧式空间\(V\)到\(V’\)的一个同构映射,那么\(\sigma\)也是\(V\)到\(V’\)的在线性空间上的同构映射。
-
同构的欧式空间有相同的维数
-
每一个\(n\)维的欧氏空间都与\(R^n\)同构
-
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性,对称性,传递性。
-
任意两个\(n\)维欧式空间都同构。
-
定理
两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
正交变换
-
定义 正交变换
设欧氏空间\(V\)的线性变换\(\mathscr{A}\)称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的\(\alpha,\beta \in V\),都有
\((\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=(\alpha,\beta)\)
-
定理
设\(\mathscr{A}\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)的一个线性变换,于是下面四个命题是相互等价的
- \(\mathscr{A}\)是正交变换
- \(\mathscr{A}\)保持向量的长度不变,即对于\(\alpha \in V,|\mathscr{A}\alpha|=|\alpha|\);
- 如果\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是标准正交基,那么\(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n\)也是标准正交基;
- \(\mathscr{A}\)在任一祖标准正交基下的矩阵是正交矩阵
因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆的
在标准正交基下,正交变换和正交矩阵相对应,所以正交矩阵乘积与正交矩阵的逆还是正交矩阵。
-
第一类与 第二类
如果\(A\)是正交矩阵,那么由\(AA’=E\),可知\(|A|^2=1或|A|=\pm1\)
- 行列式等于1的正交变换通常称为旋转,或者第一类的;
- 行列式等于-1的正交变换称为第二类的
子空间
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定义 正交的子空间
设\(V_1,V_2\)是欧氏空间\(V\)中两个子空间,如果对于任意的\(\alpha \in V_1,\beta \in V_2\),恒有
\((\alpha,\beta)=0\)
则称\(V_1,V_2\)是正交的,记为\(V_1 \perp V_2\)
一个向量\(\alpha\),如果对于任意的\(\beta \in V_1\),恒有
\((\alpha,\beta)=0\)
则称\(\alpha\)与子空间正交,记为\(\alpha \perp V_1\)
-
定理
如果子空间\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)两两正交,那么和\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)是直和。
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定义 正交补
子空间\(V_2\)称为子空间\(V_2\)称为子空间\(V_1\)的一个正交补,如果\(V_1 \perp V_2\)并且\(V_1+V_2=V\)
-
定理
\(n\)维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补。
推论: \(V_1^{\perp}\)恰由所有与\(V_1\)正交的向量组成
-
内射影
由分解式\(V=V_1 \oplus V_1^{\perp}\)可知
\(V\)中任一向量\(\alpha\)都可以唯一分解成\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2 \in V_1^{\perp}\)
我们称\(\alpha_1\)为向量\(\alpha\)在子空间\(V_1\)上的内射影
实对称矩阵的标准形
-
任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵
即存在一个可逆矩阵\(C\)使\(C’AC\)成对角形
现在利用欧式空间的理论,对于实对称矩阵的结构进行加强
- 引理1 设\(A\)是实对称矩阵,则\(A\)的特征值都是实数
对应于实对称矩阵\(A\),在\(n\)维欧式空间\(R^n\)中定义一个线性变换\(\mathscr{A}\)如下
显然\(\mathscr{A}\)在标准正交基
下的矩阵就是\(A\)
-
引理2
设\(A\)是实对称矩阵,\(\mathscr{A}\)定义如上,
则对任意\(\alpha ,\beta \in R^n\)有
\[(\mathscr{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathscr{A}\beta)\\ 或 \beta'(A\alpha)=\alpha’A\beta \] -
定义 对称变换
欧式空间中满足等式(10)的线性变换称为对称变换。
-
引理3
设\(\mathscr{A}\)是对称变换,\(V_1\)是\(\mathscr{A}-\)子空间,则\(V_1^{\perp}\)也是\(\mathscr{A}-\)子空间。
-
引理4
设\(A\)是实对称矩阵,则\(R^n\)中属于\(A\)的不同特征值的特征向量必正交。
-
定理
对于任意一个\(n\)级实对称矩阵\(A\),都存在一个\(n\)级正交矩阵\(T\),使\(T’AT=T^{-1}AT\)成对角形。正交矩阵T的求法
-
求出\(A\)的特征值,设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)就是\(A\)的全部不同的特征值。
-
对于每个\(\lambda_i\),解齐次线性方程组
\[(\lambda_iE-A) \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \ \ =0 \]求出一个基础解系,这就是\(A\)的特征子空间\(V_{\lambda_i}\)的一组基。
由这组基出发,求出一组标准正交基
-
正交矩阵\(T\)就由特征向量组成
-
-
定理
任意一个实二次型 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,a_{ij}=a_{ji}\)
都可以经过正交的线性替换变为平方和\(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\),其中平方项的系数\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)就是矩阵\(A\)的特征多项式全部的根
向量到子空间的距离 最小二乘法
-
定义 距离
长度\(|\alpha -\beta|\)称为向量\(\alpha\)和\(\beta\)的距离,记为\(d(\alpha,\beta)\)
距离的三条基本性质:
- \(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)\);
- \(d(\alpha,\beta)\geq 0\)并且仅当\(\alpha=\beta\)时等号才成立;
- \(d(\alpha,\beta)\leq d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)(三角不等式);
最小二乘法问题
线性方程组
可能无解。
即任何一组数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)都可能使
不等于零。
我们设法找\(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_s^0\)使\((13)\)最小,这样的\(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_s^0\)称为方程组的最小二乘解。
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