LCA算法

LCA问题：如何求树(不限于二叉树)中两个节点(不限于叶子节点)的最近公共祖先节点。
LCA算法分为在线算法与离线算法。
在线算法:可以以序列化的方式一个个的处理输入，也就是说在开始时并不需要已经知道所有的输入。
离线算法:在开始时就需要知道问题的所有输入数据，而且在解决一个问题后就要立即输出结果。
在线算法与离线算法都基于DFS。在线算法与RMQ算法（区间最值查询）相关，离线算法与Tarjan算法相关。
在线算法 LCA RMQ的相互转换
各自意义：
LCA：基于有根树最近公共祖先问题。 LCA(T, u, v)：在有根树T中，询问一个距离根最远的结点x，使得x同时为结点u、v的祖先。
RMQ：区间最小值询问问题。 RMQ(A, i, j)：对于线性序列A中，询问区间[i, j]上的最小(最大)值。
RMQ对于LAC的转换：
设一个长度为N的序列A，按照如下方法将其递归建立为一棵树：
1)设序列中最小值为Ak，建立优先级为Ak的根节点Tk；
2)将A(1…k-1)递归建树作为Tk的左子树；
3)将A(k+1…N)递归建树作为Tk的右子树；
如序列A=(7, 5, 8, 1, 10)建树的结果为：

对于RMQ(A, i, j)：
1)设序列中的最小值为Ak，若i<=k<=j，那么答案为k；
2)若k>j，那么答案为RMQ(A1…k-1, i, j)；
3)若k< i，那么答案为RMQ(Ak+1…N, i, j)；
而RMQ问题可以采用ST算法解决，则将LCA转换为RMQ再根据ST算法解决，时间复杂度为O(nlogn)的预处理+O(1)的查询。

LCA的离线Tarjan算法
基于Tarjan算法与并查集。
Tarjan算法
算法用集合表示一类节点，这些节点跟集合外的点的LCA都一样，并把这个LCA设为这个集合的祖先。当搜索到节点x时，创建一个由x本身组成的集合，这个集合的祖先为x自己。然后递归搜索x的所有儿子节点。当一个子节点搜索完毕时，把子节点的集合与x节点的集合合并，并把合并后的集合的祖先设为x。因为这棵子树内的查询已经处理完，x的其他子树节点跟这棵子树节点的LCA都是一样的，都为当前根节点x。所有子树处理完毕之后，处理当前根节点x相关的查询。遍历x的所有查询，如果查询的另一个节点v已经访问过了，那么x和v的LCA即为v所在集合的祖先。
对于每个节点u，关于它的询问(u,v)只有两种。
1、v在u的子树内。
此时LCA(u,v) = u.
2、v不在u的子树内。
⑴假设v在u的父亲的另一棵子树内。
此时LCA(u,v) = father[u].
⑵如果不满足条件⑴，则v可能在u的父亲的父亲的另一棵子树内。
而此时LCA(u,v) = father[ father[u] ].
⑶……
不论是哪种情况，LCA(u,v)都与u和father[ ]有某种关系。我们能不能抓住这种关系呢？
我们继续观察，一直向上取father[ ]，貌似和并查集的FIND操作很像呢。

我们用并查集的角度依次考虑上面的情况试试看。
1、v在u的子树内。
此时dfs(u)还在栈中，没有执行完，此时没有向上取father[ ]，说明此时u是根。
2、v不在u的子树内。
⑴假设v在u的父亲的另一棵子树内。
此时的dfs(u)已经执行完并出栈。此时向上取了一次father[ ]，说明此时u的父亲是根。
⑵如果不满足条件⑴，则v可能在u的父亲的父亲的另一棵子树内。
同理，此时dfs(u的父亲)也已经执行完并出栈。此时向上取了两次father[ ]，说明此时u的父亲的父亲是根。
⑶……
综上，我们只要保证当dfs(u)在栈中的时候，u是根；当dfs(u)不在栈中的时候，father[u]是根就行了。