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特征函数
逆转公式
多元特征函数
习题

特征函数

定义若 \(\xi\) 为实随机变量，则称

\[f(t) = Ee^{it\xi},\quad -\infty<t<+\infty \]

为 \(\xi\) 的特征函数；因此，离散型随机变量的特征函数为

\[f(t) = \sum_{n=1}^{+\infty}p_ne^{itx_n},\quad p_n = P(\xi=x_n) \]

连续型随机变量的特征函数为

\[f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF(x) \]

若有密度函数 \(p(x)\) ，则

\[f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p(x)dx \]

性质

\(|f(t)|\le f(0) = 1,\ f(-t) = \overline{f(t)}\) .
\(f(t)\) 非负定.
若 \(\xi_1,\cdots,\xi_n\) 相互独立，特征函数为 \(f_1(t),\cdots,f_n(t)\) ，记 \(\eta = \xi_1+\cdots+\xi_n\) 则有

\[f_{\eta}(t) = f_1(t)\cdots f_n(t) \]

由于相互独立，则

\[Ee^{it\eta} = E(e^{it\xi_1}\cdots e^{it\xi_n}) = Ee^{it\xi_1}\cdots Ee^{it\xi_n} \]

若 \(E\xi^n\) 存在，则 \(f(t)\) 是 \(n\) 次可微的，且 \(f^{(k)}(0) = i^kE\xi^k\) .
设 \(\eta = a\xi+b\) ，则 \(f_{\eta}(t) = e^{ibt}f(at)\) .
\(f(t)\) 为特征函数 \(\Leftrightarrow\) \(f(t)\) 非负定，连续且 \(f(0)=1\) .

逆转公式

唯一性定理 分布函数可由特征函数唯一确定.

逆傅里叶变换 对于特征函数 \(f(t)\) ，若 \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt<\infty\) ，则分布函数 \(F(x)\) 有连续导数，且

\[F^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}f(t)dt \]

对于离散型非负整数随机变量 \(\xi\) ， \(P(\xi=k)=p_k,\ k=0,1,\cdots\) ，则有特征函数

\[f(t) = \sum_{k=0}^{+\infty}p_ke^{itk} \]

利用逆傅里叶变换及

\[\int_0^{2\pi}e^{int}dt = \left\{ \begin{aligned} &2\pi,\quad &n=0\\ &0,\quad &n\neq 0 \end{aligned} \right. \]

则有

\[p_k = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-itk}f(t)dt \]

也就是说，如果 \(f(t)\) 有上面的求和形式，实际上可以直接反推分布列，需要注意系数 \(p_k>0,\ \sum_kp_k = 1\) .

多元特征函数

设随机向量 \(\mathbf{\xi} = (\xi_1,\cdots,\xi_n)^T\) 的分布函数为 \(F(x_1,\cdots,x_n)\) ，称

\[f(t_1,\cdots,t_n) = Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_n\xi_n)} \]

\(\eta = a_1\xi_1+\cdots+a_n\xi_n\) 的特征函数为

\[f_{\eta}(t) = Ee^{it\sum_{k=1}^na_k\xi_k} = Ee^{i\sum_{k=1}^n(a_kt)\xi_k} = f(a_1t_1,\cdots,a_nt_n) \]

\(N(\mathbf{a},\mathbf{B})\) 的数学期望向量为 \(\mathbf{a}\) ，协方差矩阵为 \(\mathbf{B}\) .
设 \(\mathbf{\xi} = (\xi_1,\cdots,x_n)^T\sim N(\mathbf{a},\mathbf{B}),\ \mathbf{C} = (c_{ij})_{m\times n}\) 矩阵，则 \(\mathbf{\eta} = \mathbf{C}\mathbf{\xi}\) 服从 \(m\) 元正态分布 \(N\left(\mathbf{Ca},\mathbf{CBC^T}\right)\) .

习题

设 \(\xi_1,\xi_2\) 相互独立且服从 \(N(a,\sigma^2)\) ，则 \(E\max(\xi_1,\xi_2)=a+\sigma/\sqrt{\pi}\) .

使用技巧

\[\max(\xi_1,\xi_2) = \dfrac{1}{2}(|\xi_1-\xi_2|+\xi_1+\xi_2) \]

且有 \(E(\xi_1+\xi_2) = 2a,\ \xi_1-\xi_2\sim N(0,2\sigma^2)\) ，则有

\[E|\xi_1-\xi_2| = \int_{-\infty}^{+\infty}|x|p(x)dx \]

其中 \(p(x)\) 是对应于 \(N(0,2\sigma^2)\) 的密度函数.

袋中有 \(n\) 张卡片，号码记为 \(1,2,\cdots,n\) ，从中有放回地抽出 \(k\) 张卡，求所得号码之和 \(\mu\) 的数学期望和方差.

令 \(X_i\) 为第 \(i\) 次取得的号码，则它们独立同分布

\[EX_i = \sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n} = \dfrac{n+1}{2},\quad E\mu = \sum_{i=1}^{n}EX_i = \dfrac{k(n+1)}{2}\\ VarX_i = EX_i^2 – (EX_i)^2 = \dfrac{n^2-1}{12},\quad Var\mu = \sum_{i=1}^{n}VarX_i = \dfrac{k(n^2-1)}{12} \]

由于独立同分布，方差可以直接求和，即得.

满足均匀分布的赔款，类别记为 \(k\) ，最大赔款为 \(X_k\sim U(0,L_k)\) ，保单数为 \(n_k\) ，则总赔款 \(S\) 的数学期望和方差.

\[EX_i = \dfrac{1}{2}L_i,\quad VarX_i = \dfrac{L_i^2}{12}\\ ES = \sum_{i=1}^kn_iEX_i = \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^kn_iL_i\\ VarS = \sum_{i=1}^kn_iVarX_i = \dfrac{1}{12}\sum_{i=1}^kn_iL_i^2 \]

注意题中可能有发生事故的概率 \(p\) ，因此还需要乘 \(p\) .

设 \(\xi,\eta\) 都是只取两个值的随机变量，若它们不相关，则它们独立.

不妨令

\[P(\xi=a) = p_1,\quad P(\xi=b) = q_1\\ P(\eta=c) = p_2,\quad P(\eta=d) = q_2\\ \xi^* = \xi-b,\quad \eta^* = \eta-d \]

则 \(E\xi^*\eta^* = E\xi^*E\eta^*\) ，而

\[E\xi^*\eta^* = (a-b)(c-d)P(\xi=a,\eta=b)\\ E\xi^*E\eta^* = (a-b)(c-d)P(\xi=a)P(\eta=b) \]

从而有 \(P(\xi=a,\eta=b) = P(\xi=a)P(\eta=b)\) ，类似可证其它三种情况，即证.

设 \(\xi\sim U[0,1],\ \eta=\ln\xi\) ，则特征函数

\[f_{\eta}(t) = Ee^{i\ln\xi t} = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\ln x t}p(x)dx = \int_{0}^{1}e^{i\ln x t}dx = \dfrac{1}{1+it} \]

注意需要根据密度函数改写定义域；此时 \(\eta\) 类似于指数分布

\[p(x) = \left\{ \begin{aligned} &e^{-x},\quad &x< 0\\ &0,\quad &x\ge 0 \end{aligned} \right. \]

事实上 \(-\eta\sim E(1)\) .

若 \(\varphi(t)\) 是 \(\xi\) 的特征函数，则

\([\varphi(t)]^n\) 是 \(\eta = \xi_1+\cdots+\xi_n\) 的特征函数
\(\varphi(t)(\sin at)/at\) 是 \(\xi+\eta,\ \eta\sim U[-a,a]\) 的特征函数

使用逆傅里叶变换求解密度函数

\[\varphi(t) = \left\{ \begin{aligned} &1-\frac{|t|}{a},\quad &|t|< a\\ &0,\quad &|t|\ge a \end{aligned} \right.\quad\quad a>0 \]

则根据特征函数有

\[p(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt = \dfrac{1-\cos ax}{a\pi x^2} \]

补设 \(\xi_1,\cdots,\xi_n\) 相互独立，都服从 \(N(a,\sigma^2)\) ，则 \(\xi = (\xi_1,\cdots,\xi_n)^T\) 的分布有联合密度函数

\[p(x_1,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^np(x_i)\\ E(\xi_1,\cdots,\xi_n) = a(1,\cdots,1)^T \]

设 \(\xi=(\xi_1,\xi_2)^T\sim N(\mathbf{0},\mathbf{I})\) ，则给定 \(\xi_1+\xi_2 = x_1+x_2\) 时 \(\xi_1\) 的条件分布.

添加一个额外变量，有 \(\eta_1 = \xi_1+\xi_2,\ \eta_2 = \xi_1\) ，则有变换矩阵

\[C = \left( \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{matrix} \right),\quad B = CIC^T = \left( \begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \]

从而有 \((\eta_1,\eta_2)^T\sim N(\mathbf{0},\mathbf{B})\) ，有密度函数 \(p(y_1,y_2)\) ；又 \(\eta_1 = \xi_1+\xi_2\sim N(0,2)\) ，则有已知 \(\eta_1 = x_1+x_2\) 时 \(\eta_2\) 的条件密度

\[p_{\eta_2|\eta_1}(y) = \dfrac{p(x_1+x_2,y)}{p_{\eta_1}(x_1+x_2)} \]

其中 \(p_{\eta_1}\) 是 \(N(0,2)\) 的密度函数.

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