第3讲–3.1旋转矩阵

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三维空间由3个轴组成，所以一个空间点的位置可以由3个坐标指定。但考虑刚体时，它不仅有位置，还有自身的姿态。借助数学语言，我们可以更好地来描述它。

3.1.1 点和向量，坐标系

点和向量

向量：线性空间中的一个元素，可以把它想象成从原点指向某处的一个箭头。

　　　注意：不要混淆向量和坐标两个概念，只有在指定这个三维空间中的某个坐标系时，才可以谈论该向量在此坐标下的坐标。

　　如果确定了一个坐标系，也就是一个线性空间的基（e₁,e₂,e₃），那么就可以谈论向量a在这组基下的坐标。

坐标的具体取值，一是和向量本身有关，二是和坐标系的选取有关。

　　对于a和b∈R³，内积可以写成：

　　内积可以描述向量间的投影关系。

　　外积：

　　外积的方向垂直于这两个向量，大小为，是两个向量张成的四边形的有向面积。

　　外积只对三维向量存在定义，我们还能用外积表示向量的旋转。

坐标间的欧氏变换

　　与向量间的旋转类似，同样可以描述两个坐标间的旋转关系，再加上平移，统称为坐标系间的变换关系。

举例：

　　在机器人的运动过程中，常见的做法是设定一个惯性坐标（或者叫世界坐标系），可认为它是固定不动的，如下图定义的坐标系。同时，相机或机器人则是一个移动坐标系。

相机视野中某个向量p,它的坐标为P_c，在世界坐标系下看，它的坐标是P_w。这两者转换：先得到该点针对机器人坐标系的坐标值，再根据机器人位姿转换到世界坐标系中，这个转换关系由一个矩阵T来描述。

相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。这种变换称为欧氏变换。

 欧氏变换由一个旋转和一个平移两部分组成。

首先，考虑旋转。

设某个单位正交基（e₁,e₂,e₃）经过一次旋转变成了。那么，对于同一个向量a（注意:该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为。根据坐标的定义，有：

，

为了描述两个坐标之间的关系，等式两边同时左乘，得：

　　R由两组基之间得内积组成，刻画旋转前后同一个向量得坐标变换关系。矩阵R描述了旋转本身，因此称为旋转矩阵。

旋转矩阵有一些特别的性质：事实上，它是一个行列式为1的正交矩阵。反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。因此，旋转矩阵的集合定义如下：

　　SO(n)是特殊正交群(Special Orthogonal Group)，这个集合由n维空间的旋转矩阵组成，特别的，SO(3)是三维空间的旋转。通过这个旋转可以直接讨论两个坐标系之间的旋转变换，而

不用再从基谈起。换句话说，旋转矩阵可以描述相机的旋转。

　　由于旋转矩阵是正交矩阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转，

　　在欧氏变换中，除了旋转之外还有平移。考虑世界坐标系中的向量a，经过一次旋转（用R描述）和一次平移t后，得到了a^‘，把旋转和平移合到一起，有：

t称为平移向量。通过上式，用一个旋转矩阵R和一个平移向量t完整地描述了一个欧氏空间的坐标变换关系。

 　　3.1.3 变换矩阵与齐次坐标

　　假设进行两次变换：R₁，t₁和R₂，t₂，满足，

从a 变换到c：

　　这样的形式在变换多次后会过于复杂，因此，我们引入齐次坐标和变换矩阵：

这是一个数学技巧：在一个三维向量的末尾添加1，将其变成了四维向量，称为齐次坐标。

对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成线性关系。该式中，T称为变换矩阵（Transform Matrix）。

 关于变换矩阵T，它有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为0向量，右下角为1。这种矩阵又称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group）.

　　齐次坐标，是射影几何的概念。通过添加最后一维，我们用4个实数描述了一个三维向量，这显然多了一个自由度，但允许我们把变换写成线性的形式。

在齐次坐标中，某个点x的每个分量同乘一个非零常数k后，仍然表示同一个点。因此，一个点的具体坐标值不是唯一的。

　　但最后一项不为零时，我们总可以除以最后一项，强制最后一项为1，从而得到一个点唯一的坐标表示（也就是转换为非齐次坐标）：