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非线性规划

飞行管理问题

在约 10，000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平
飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会
与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机
飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km;
2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度；
3）所有飞机飞行速度均为每小时 800km;
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60km 以上；
5）最多需考虑 6 架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进
行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域 4 个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据见表 1。

表1

注：方向角指飞行方向与\(x\)轴正向的夹角

为了方便以后的讨论，引进如下记号：

\(D\)为飞行管理区域的边长

\(\Omega\)为飞行管理区域，取直角坐标系使其为\([0,D]\times[0,D]\)

\(a\)为飞机飞行速度，\(a=800km/h\)

\((x_i^0,y_i^0)\)为第\(i\)架飞机的初始位置

\((x_i(t),y_i(t))\)为第\(i\)架飞机在\(t\)时刻的位置

\(\theta_i^0\)为第\(i\)架飞机的的原飞行角度，即飞行方向与\(x\)轴夹角，\(0\le\theta_i^0<2\pi\)

\(\Delta\theta_i\)为第\(i\)架飞机的方向角调整，\(-\frac\pi6\le\Delta\theta_i\le\frac\pi6\)

\(\theta_i=\theta_i^0+\Delta\theta_i\)为第\(i\)架飞机调整后的飞行方向角

根据相对运动观点在考察两架飞机\(i\)和\(j\)的飞行时，可以将飞机\(i\)视为不动，而飞机\(j\)以相对速度

不妨设\(\theta_j\ge\theta_i\)，此时相对飞行方向角为\(\beta_{ij}=\frac\pi2+\frac{\theta_i+\theta_j}2\)

由于两架飞机的初始距离为

图1

$$ r_{ij}(0)=\sqrt{(x_i^0-x_j^0)^2+(y_i^0-y_j^0)^2}\\ \alpha_{ij}^0=\arcsin\frac8{r_{ij}(0)} $$

只要相对飞行方向角满足

时，两架飞机不能碰撞

记\(\beta_{ij}^0\)为调整前第\(j\)架飞机相对于第\(i\)架飞机的相对速度与这两架飞机连线（从\(j\)指向\(i\)的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），两架飞机不碰撞的条件为

其中

\(i\)是虚数单位，这里利用复数的辐角，来计算角度\(\beta_{mn}^0\,(m,n=1,2,\cdots,6)\)

本问题中的优化目标可以有不同的形式：如是所有飞机的最大调节量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等。这里以所有飞机的调整量绝对值之和为目标函数，可以得到如下的数学规划模型：

利用如下的程序，使用python：

import numpy as np

x0 = np.array([150, 85, 150, 145, 130, 0]) # 初始横坐标
y0 = np.array([140, 85, 155, 50, 150, 0]) # 初始纵坐标
theta_i = np.array([243, 236, 220.5, 159, 230, 52])
xy0 = np.concatenate([[x0], [y0]], axis=0)
d0 = np.zeros((6, 6))
for i in range(xy0.shape[1]):  # 计算矩阵各个列向量之间的距离
    for j in range(xy0.shape[1]):
        d0[i, j] = np.linalg.norm(xy0[:, i] - xy0[:, j])
d0[d0 == 0] = np.inf  # 设置点到自身的距离为无穷大
a0 = np.arcsin(8 / d0) / np.pi * 180  # arcsin()返回弧度制，换算成角度，获得不碰撞的最小角度
xy1 = np.array([])
for i, j in zip(x0, y0):  # 计算x+yi
    xy1 = np.append(xy1, np.complex(i, j))
xy2 = np.array([])
for i in theta_i:# 计算e_iθ
    xy2 = np.append(xy2, np.exp(np.complex(0, i / 180 * np.pi)))
b0 = np.zeros((6, 6))
for i in range(6):
    for j in range(6):
        if i != j: # 不计算对角线
            b0[i, j] = np.angle((xy2[j] - xy2[i]) / (xy1[j] - xy1[i]), deg=True)  # 范围角度值，范围在-180°到180°
            # 获得两点之间的相对角度
np.savetxt('./a0.csv', a0, delimiter=',', fmt='%f')  # 写入数据
np.savetxt('./b0.csv', b0, delimiter=',', fmt='%f')

求得\(\alpha_{ij}^0\)的值如表2所示

表2

求得\(\beta_{ij}^0\)如表3所示

表3

上述飞行管理数学规划模型可如下输入LINGO求解：

model:
sets: ! 变量设置;
plane/1..6/:delta;
link(plane,plane):alpha,beta;
endsets
data:
alpha=@file('C:\Users\reion\OneDrive\Documents\机器学习实战\a0.csv'); ! 导入alpha_ij的数据;
beta=@file('C:\Users\reion\OneDrive\Documents\机器学习实战\b0.csv');! 导入beta_ij的数据;
enddata
min=@sum(plane:@abs(delta)); ! 最小化角度的绝对值之和;
@for(plane:@bnd(-30,delta,30)); ! 角度的调整范围在-30°到30°之间;
@for(link(i,j)|i#ne#j:@abs(beta(i,j)+0.5*delta(i)+0.5*delta(j))>alpha(i,j)); ! 调整后的角度的绝对值要小于a_ij;
end

求得的最优解为\(\Delta\theta_5=-28.05682 °\)，其余角度为0°