唯一分解定理

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数论 — 唯一分解定理(算数基本定理)

定义：
(来自百度百科) 任何一个大于1的整数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pn^an,这里
p1<p2<p3<…<pn均为质数，ai均为正整数.
这样的分解称为N的标准分解式.

唯一分解定理的证明需要证明其存在性和唯一性

待证命题：大于1的自然数必可写成质数的乘积。
存在性证明：
反证法：
假设存在一个最小的不能表示成几个质数的乘积的数 n

这里要知道：非空正整数集合存在最小元素。
注意这个 n是在条件假设情况下最小的.

非零自然数按照其可除性(能被两个不是自身的自然数整除)分为3类 质数，合数，1;
首先n是大于1的，所以n只可能是质数或者合数，然而如果为质数，这显然是不可能的，
因为在这种条件下，n可以表示成n^1的形式，符合唯一分解定理，所以n只能是合数，
所以n一定可以表示成两个数相乘(合数定义) 令 n = a * b ，因为n是假设条件下最小的数，
所以a可以表示成两个质数的乘积 a=x*y, b同理表示成b=l*r,显然x,y,l,r均为质数，所以
n可以表示成n=x*y*l*r,也就是说假设不成立，所以大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性的证明：

非空正整数集合一定存在最小值。
假设M的质因数分解并不是唯一的,且M为质因数分解并不是唯一的数中最小的:
M=p1*p2*p3*…*px=t1*t2*t3*…*ty
pi<=p(i+1) ti<=t(i+1)

显然p1是不等于t1的，不然两边同时约去p1，就可以得到一个新的分解，那么p2是不等
于t2的，同理，若两边同时约去就又得到一个新的分解，那么p3是不等于t3的，不然再次同
时约去，等式就失去意义了，不妨假设p1<t1,现在用p1代替等式右边的t1就可以得到一个比M
更小的数Q=p1*t2*t3*t4*…*ty; 令M’=M-Q;所以M’就存在两种表示方式
M’=(p1*p2*p3*…*px)-(p1*t2*t3*…*ty)=p1*((p2*p2*…*px)-(t2*t3*…*ty))
M’=(t1*t2*t3*…*ty)-(p1*t2*t3*…*ty)=(t1-p1)*(t2*t3*…*ty)
因为M为质因数分解不唯一的正整数集合中最小的元素，所以M’的分解一定是唯一的，
所以p1也应该出现在(t1-p1)*(t2*t3*…*ty)这个表达式中，因为p1<=t1,t1<=t2且t序列是一个
非降的，所以所以p1一定不是t2到ty中的某个元素，即p1一定是出现在(t1-p1)中的，也就是说
(t1-p1)/p1存在整数解,所以t1-1是一个正整数，显然如果(t1-p1)/p1存在正整数解，那么也就是说
p1是t1的一个因子(可以这样理解: 原式=t1/p1-1,所以t1/p1也必须是一个整数)，所以t1不是一个
质数，与假设矛盾，也就是说质因数的分解是唯一存在的，得证。

通过唯一分解定理同样可以证明很多好玩的东西
证明根号2是无理数
反证法：
假设根号2 是一个有理数，也就是说它可以表示成q/p的形式，即(q/p)^2=2;
将等式变换：
q^2=2*p^2
接下来要证明一个数的平方不可能是另一个数平方的两倍
首先 q可以表示成几个质数的乘积的形式，那么q^2的质因子的个数一定为偶数，也就是降q的质因子
的个数复制一份即q^2的质因子的个数，同理p的质因子的个数同样是偶数个，那么2*p^2的质因子的
个数一定是奇数个，又因为q^2和2*p^2是同一个数，所以出现上述情况是不可能的，也就是说假设是
不成立的，即2不可以表示成q/p的形式，即根号2是一个无理数。

唯一分解定理的一个重要的推论是，如果质数p是ab的因子，那么p或者是a的因子，或者是b的因子。我们刚才在证明过程中也不自觉地用到了这个推论。证明方法很简单，假如a和b里面都不含p，把a和b各自分解开来再乘到一起，我们就得到了数ab的一个没有因子p的分解方式；而按照前面提到的试除法，ab是可以表示成p与另一些质数的乘积的，这违背了唯一分解定理。连续多次使用该推论，我们可以很快将推论推广到多个数的情形。 事实上，假设这个推论成立，我们也能很快反过来推出唯一分解定理：写出N的两种质因数分解，在前一种分解中任取一个因子，它必然会在后一种分解方法中出现；把它们约掉之后结论继续适用，不断进行该操作直到最终两边都只余下一个1。这一系列操作说明了，两种分解方法实际上是相同的。我们看到，唯一分解定理和它的推论实际上是等价的。如果我们能够绕过唯一分解定理，用另一种方法证出这个推论，我们也就相当于找到了唯一分解定理的另一个证明。而事实上，运用扩展的辗转相除算法，我们可以飞快地完成推论的证明。我们将说明，如果质数p能整除ab，但不整除a，那它一定是b的约数。 质数p不能整除a，告诉我们a和p互质，于是存在整数k和l使得ka + lp = 1。等式两边同时乘以b，我们有kab + lpb = b。而ab能被p整除，也即存在整数r使得ab=pr。那么，kpr + lpb = p(kr + lb) = b，我们立即看出p是b的一个约数。