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高等代数2 向量组

假定在固定数域\(P\)上。

定义

• 所谓数域\(P\)上一个\(n\)维向量组就是由数域\(P\)中\(n\)个数组成的有序数组

​ \(a_i\)称为向量的分量。

我们用小写希腊字母\(\alpha,\beta,\gamma,\cdots\)来表示向量。

• 行向量 \(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)

• 列向量

  \[\alpha=\left ( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix} \right ) \]

  区别只是写法不一样

基本关系

• 相等

  如果\(n\)维向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)的对应分量都相等，即\(a_i=b_i(i=1,2,\cdots,n)\)

  即称这两个向量组是相等的，记作\(\alpha=\beta\)

加法

• 加法

  向量\(\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\)称为向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)的和，记作\(\gamma=\alpha+\beta\)。

• 交换律 \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)

• **结合律 ** \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\)

• 零向量 分量全部为零的向量\((0,0,\cdots,0)\)称为零向量，记为\(\mathfrak0\).

  ​ \(\alpha+\mathfrak0=\alpha\)

• 负向量 向量\((-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)\)称为向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)的负向量，记为\(-\alpha\)。

  ​ \(\alpha+(-\alpha)=\mathfrak0\)

• 减法

  ​ \(\alpha – \beta=\alpha+(-\beta)\)

数量乘法

• 数量乘积

  设\(k\)是数域\(P\)中的数，向量\(k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)\),称为向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)与数\(k\)的数量乘积，记为\(k\alpha\)。

  ​

  \[k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta \\ (k+l)\alpha =k\alpha+l\alpha \\ k(l\alpha)=(kl)\alpha \\ 1\alpha=\alpha\\ 0\alpha=\mathfrak{0} \\ (-1)\alpha=-\alpha \\ k\mathfrak{0}=\mathfrak{0} \\ 如果k\neq0,\alpha \neq \mathfrak0 ，那么 k\alpha \neq \mathfrak0 \]

• 成比例

  向量\(\alpha\)与\(\beta\)成比例就是说有一数\(k\)使 \(\alpha=k\beta\)

向量空间

以数域\(P\)中的数作为分量的\(n\)维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域\(P\)上的\(n\)维空间向量。

线性相关性

• 线性组合

  向量\(\alpha\)称为向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)的一个线性组合，如果有数域\(P\)中的数\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)使

  \[\alpha = k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n \]

• \(n\)维单位向量

  任意一个\(n\)维向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)都是向量组

  \[\begin{cases} \varepsilon_1=(1,0,\cdots,0) \\ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1)\\ \end{cases} \]

  的一个线性组合 \(\alpha = k_1\varepsilon_1+k_2\varepsilon_2+\cdots+k_n\varepsilon_n\)

  向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)称为\(n\)维单位向量。

  零向量是任一向量组的线性组合

• 线性表出

  • 当向量\(\alpha\)是向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)的一个线性组合时，我们也可以说\(\alpha\)可以经向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出。

  • 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)中的每一个向量\(a_i(i=1,2,\cdots,t)\)都可以经向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出，那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)就可称为经向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出。

  每一个向量组都可以经它自身线性表出。

  如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)可以经向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出，向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)可以经向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)线性表出，那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)可以经向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)线性表出。

等价

如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。

等价的性质

• 自反性 每一个向量组与它自身等价
• **对称性 ** 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)等价，那么向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)也与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)等价。
• 传递性 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)与向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)等价，向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)与向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)等价，那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)与向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)等价。

线性相关

• 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 2)\)中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)称为线性相关的。

• 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 1)\)称为线性相关，如果有数域\(P\)中不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使

线性无关

• 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 1)\)不线性相关，即没有不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使

​ 就称为线性无关

• 一向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)称为线性无关，如果由

  \[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathfrak0 \]

  可以推出 \(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)

• 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关。如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。

• \(n\)维单位向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)组成的向量组是线性无关的。

判断线性相关还是无关

一般的，要判断一个向量组\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,s\)是否线性相关，就是看方程

有无非零解。

方程按分量写出来为

因此，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。

• 如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量所得到的\(n+1\)维的向量组也线性无关。

• 定理

  设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)是两个向量组。如果

  1. 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)可以经\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出；
  2. \(r>s\)

  那么向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)必线性相关。

  • 推论1 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)可以经\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性表出，且\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)线性无关，那么\(r\leq s\)。
  • 推论2 任意\(n+1\)个\(n\)维向量必线性相关。
  • 推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。

极大线性无关组

• 定义

  一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。

  • 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身。

• 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

  一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

• 定理 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

向量组的秩

• 定义

  向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

  全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组。我们规定这样的向量组的秩为零。

• 一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所包含向量的个数相同。

• 等价的向量组有相同的秩。

• 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。