关于戴德金分割的几点思考

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谨以此文纪念杨振宁、李政道先生获得诺贝尔物理学奖60周年.

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.

戴德金分割

已知对于戴德金分割，把实数域拆分成两个均非空集A及A’，使能满足：

情形1：每一实数必落在集A，A’中一个且仅一个之内

情形2：集A的每一数α小于集A’的每一数α’

戴德金定理

它是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理，它断言，若A|A’是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在A内，则它为A中最大元，若β落在A’内，则它是A’中最小元，这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性.

下面我们在戴德金分割的基础上给出戴德金(基本)定理的证明过程：

将属于A的一切有理数集记成A，属于A’的一切有理数集记成A’，容易证明，集A及集A’形成有理数域内的一个分划，这分划A|A’确定出某一实数β，它应该落在A组或A’组之一内，假定β落在下组A内，则这样就实现了情形1，β就是A组的最大数，假定如果不是这样，便可在这组内找出大于β的另一数α0，现在α0与β之间插入有理数r，使α0>r>β，r亦属于A，故必属于A的一部分，这样就得出了谬论，即有理数r属于确定β的戴德金分割的下组，却又大于β，因此，就证明了戴德金定理的正确性，类似地，如果假定β落在上组A’内，同样可以证明.

戴德金分割存在的几点疑问：

1.根据戴德金分割(我们可以)证明：1=0.999……

证明：设 t=0.999……，作两个有理数集的分割

A={x|x<t,x有理数}，B={x|x>=t,x有理数}

C={x|x<1,x有理数}，D={x|x>=1,x有理数}

分割A/B确定了实数t=0.999……(我们暂时不知道t=0.999……是有理数还是无理数)

分割C/D确定了有理数1

为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C

若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C

若有理数 x∈C，则 x<1，不妨设 x>0

根据有理数的定义，我们可以把x用分数的形式表示为

x=p/q，(p，q为正整数)

既然0<x<1，则必有p<q

于是由1-p/q>=1/q>0，可得存在正整数n，使得

1/q>1/10^n>0

x=p/q<=1-1/q<1-1/10^n=0.99…9(n个9)<t

既然x<t，这就说明x∈A

由上，我们就得到了A=C，从而，A/B和C/D是两个相同的分割，因此， 0.999…=t=1

2.循环整数

因为，0.9循环-0.8循环=0.1循环，所以，等式两边同时去掉“0”与“.”后有：

9循环-8循环=1循环，我们把9循环，8循环，1循环称为循环整数

我们知道在任何时候，0.9循环等于0.9循环，不可能你在做一道题时你前一分钟使用的0.9循环比后一分钟使用的0.9循环小，有0.9循环的小数位循环与时间没有关系，循环小数是常数，循环整数的基础是循环小数，决定了循环整数是常数，且循环整数不是无穷大的数，因为无穷大是变量，而常数在数轴上有对应的固定点，可得，9循环的整数位循环与时间没有关系且9循环的整数位个数等于0.9循环的小数位个数.

设Q=9循环/0.9循环，有Q-9循环=1，得到，1-0.9循环=Q/Q-9循环/Q=1/Q

因为Q大于0，所以1/Q大于0，即1-0.9循环>0

找到了大于0.999…而小于1的常数，如0.999……<0.999……+0.01/9循环<1

以1/Q为单元可以推导出牛顿-莱布尼茨公式和弧长公式等微积分内容

综上，循环整数的引入，导致1-0.999……>0，与戴德金分割的1=0.999……存在不同的结果

戴德金分割存在的数学问题会涉及很多的物理问题，比如真空量子涨落没有违背能量守恒，我们知道在真空量子涨落里，产生的能量越大，则该能量存在的时间越短，涨落发生在空间中的任何地方，而且能量存在的时间非常短，时刻一到，它就要消失，时空纠缠计算也揭示出这种现象，时空纠缠能量越大的时候，能量在四维时空存在的时间就越短，时空纠缠能量越小的时候，能量在四维时空存在的时间就越长，这里跟量子纠缠和暗物质也有关联，时空纠缠的存在，说明了不同维度时空不是独立存在的，不同维度时空是个纠缠的整体.