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正切函数的性质与图像

日期：2022-12-09

一、正切函数的性质

根据正切的定义，我们知道， \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) ，现仿照学习正弦函数的性质，探究正切函数的性质

1. 定义域

因为 \(\cos x\) 不能为零，所以 \(x\) 不能为 \(y\) 轴上的角。因此定义域为： \(\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}\)

2. 奇偶性

由诱导公式得，\(\tan(-x)=-\tan x\)

检查定义域： \(\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}\) ，关于原点对称

因此，正切函数是奇函数

3. 周期性

由 \(\tan(x + \pi)=\tan(\pi)\) 得，\(\tan x\) 的周期为 \(\pi\)

由反证法可知， \(\tan x\) 的最小正周期是 \(\pi\)

4. 值域

初始时的想法：\(\sin x\) 和 \(\cos x\) 同号时， 若 \(\cos x \rightarrow 0\)，则 \(\tan x \rightarrow +\infty\)；异号时，则 \(\tan x \rightarrow – \infty\)。因此，边界边可以得出。那么值域是否为 \(\R\) 呢？

参考课本，发现采用的是三角函数线的方式：

考虑 \(x \in [0, \frac{\pi}{2})\)。角的终边与单位圆的交点为 \(B(x_0, y_0)\) ，过点 \(B\) 作 \(x\) 轴垂线 \(BM\) ；过点 \(A(1,0)\) 作 \(x\) 轴垂线，交角 \(x\) 的终边于点 \(T\) 。

我们可以看到，蓝色的线既为正切的值。我们可以得到如下信息：

• 在 \(x(0 \rightarrow \frac{\pi}{2})\) 时，\(\tan x\) 的变化是连续的（\(0\rightarrow + \infty\) ）
• 在 \(x \rightarrow \frac{\pi}{2}\) 时，\(\tan x \rightarrow + \infty\) （\(OB\) 趋*于*行 \(AT\) ）
• 当 \(x\) 逐渐增大时，\(\tan x\) 增速很快（？）

因为 \(\tan x\) 为奇函数，所以在 \(x(-\frac{\pi}{2} \rightarrow 0)\) 时，\(\tan x\) 的变化是（$- \infty \rightarrow 0 $ ）

至此，我们得出结论， \(\tan x\) 的值域为 \(\R\)

5. 单调性

\(\forall x_1,x_2 \in [0, \frac{\pi}{2})\)，且 \(x_1 < x_2\)：

因此，\(\tan x\) 在 \([0, \frac{\pi}{2})\) 上单调递增。

由奇函数性质可得， \(\tan x\) 在 $ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上单增，又由最小正周期为 \(\pi\) 可知， \(\tan x\) 的单调区间为

小结

二、正切函数的图像

1. 图像

描点作出 \(x \in [0, \frac{\pi}{2})\) 的图像；再利用奇偶性，得到 \(x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) 的图像；最后利用周期为 \(\pi\) *移，可得到正切函数的图像（正切曲线）：

2. 其他性质

容易发现，正切曲线被*行于 \(y\) 轴的一系列直线隔开：

这一系列直线为

三、问题及反思

1. 画图工具：$g\rightarrow g\rightarrow b \or $帧数小图不清晰，帧数大渲染慢
2. 函数变化快慢：从上面那个 gif 可以看出，蓝线 ( \(\tan x\) 值)到后面增长很快，原因？