正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像正切函数的性质与图像日期:2022-12-09一、正切函数的性质根据正切的定义,我们知道,$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$,现仿照学习正弦函数的性质,探究正切函数的性质1.定义域因为$\cosx$不能为零,所以$x$不能为$y$轴上的角。

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正切函数的性质与图像

日期:2022-12-09

一、正切函数的性质

根据正切的定义,我们知道, \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) ,现仿照学习正弦函数的性质,探究正切函数的性质

1. 定义域

因为 \(\cos x\) 不能为零,所以 \(x\) 不能为 \(y\) 轴上的角。因此定义域为: \(\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}\)

2. 奇偶性

由诱导公式得,\(\tan(-x)=-\tan x\)

检查定义域: \(\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}\) ,关于原点对称

因此,正切函数是奇函数

3. 周期性

\(\tan(x + \pi)=\tan(\pi)\) 得,\(\tan x\) 的周期为 \(\pi\)

由反证法可知, \(\tan x\) 的最小正周期是 \(\pi\)

4. 值域

初始时的想法:\(\sin x\)\(\cos x\) 同号时, 若 \(\cos x \rightarrow 0\),则 \(\tan x \rightarrow +\infty\);异号时,则 \(\tan x \rightarrow – \infty\)。因此,边界边可以得出。那么值域是否为 \(\R\) 呢?

参考课本,发现采用的是三角函数线的方式:

考虑 \(x \in [0, \frac{\pi}{2})\)。角的终边与单位圆的交点为 \(B(x_0, y_0)\) ,过点 \(B\)\(x\) 轴垂线 \(BM\) ;过点 \(A(1,0)\)\(x\) 轴垂线,交角 \(x\) 的终边于点 \(T\)

正切函数的性质与图像正切函数的性质与图像

\[\tan x = \frac{y_0}{x_0}=\frac{MB}{OB}=\frac{AT}{OA}=AT \]

我们可以看到,蓝色的线既为正切的值。我们可以得到如下信息:

  • \(x(0 \rightarrow \frac{\pi}{2})\) 时,\(\tan x\) 的变化是连续的(\(0\rightarrow + \infty\)
  • \(x \rightarrow \frac{\pi}{2}\) 时,\(\tan x \rightarrow + \infty\)\(OB\) 趋*于*行 \(AT\)
  • \(x\) 逐渐增大时,\(\tan x\) 增速很快(?)

因为 \(\tan x\) 为奇函数,所以在 \(x(-\frac{\pi}{2} \rightarrow 0)\) 时,\(\tan x\) 的变化是($- \infty \rightarrow 0 $ )

至此,我们得出结论, \(\tan x\)值域\(\R\)

5. 单调性

\(\forall x_1,x_2 \in [0, \frac{\pi}{2})\),且 \(x_1 < x_2\)

\[\begin{equation*} \begin{aligned} & \forall x_1,x_2 \in [0, \frac{\pi}{2})\\ & \frac{\tan x_1}{\tan x_2}= \frac{\sin x_1}{\sin x_2} \cdot \frac{\cos x_2}{\cos x_1}(*)\\ & \because 0 \leq x_1 < x_2 < \frac{\pi}{2}\\ & \therefore0 \leq \sin x_1 < \sin x_2<1, 0<\cos x_2 < \cos x_1 \leq 1\\ & \therefore 0 \leq \frac{\sin x_1}{\sin x_2} < 1, 0<\frac{\cos x_2}{\cos x_1} < 1\\ & \therefore 0 \leq (*) < 1,(*)=0 \iff x_1=0 \\ & \therefore \tan x_1 <\tan x_2 \end{aligned} \end{equation*} \]

因此,\(\tan x\)\([0, \frac{\pi}{2})\) 上单调递增。

由奇函数性质可得, \(\tan x\) 在 $ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上单增,又由最小正周期为 \(\pi\) 可知, \(\tan x\) 的单调区间为

\[(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi), k \in \Z \]

小结

正切函数的性质 \(\tan x\)
定义域 \(\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}\)
值域 \(\R\)
周期性 \(T = \pi\)
奇偶性 奇函数
单调性 \((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi), k \in \Z\) 上单调递增

二、正切函数的图像

1. 图像

描点作出 \(x \in [0, \frac{\pi}{2})\) 的图像;再利用奇偶性,得到 \(x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) 的图像;最后利用周期为 \(\pi\) *移,可得到正切函数的图像(正切曲线):

正切函数的性质与图像

2. 其他性质

容易发现,正切曲线被*行于 \(y\) 轴的一系列直线隔开:

正切函数的性质与图像

这一系列直线为

\[x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \Z \]

三、问题及反思

  1. 画图工具:$g\rightarrow g\rightarrow b \or $帧数小图不清晰,帧数大渲染慢
  2. 函数变化快慢:从上面那个 gif 可以看出,蓝线 ( \(\tan x\) 值)到后面增长很快,原因?

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