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微实践 – 发现圆周率

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版权声明：本文内容引用自作者的图书《Python编程基础及应用》（高等教育出版社)。本文可以在互联网上转载传播，但必须包含文中的版权声明；本文不可以以纸质出版为目的进行摘抄或改编。

在历史的长河里，从古至今的数学家们尝试了无数种计算圆周率的方法。 其中，法国数学家布冯（1707-1788）和拉普拉斯（1749-1827）提出的方法比较有趣。

在边长为2的正方形内有一个直径为2半径为1的内切圆。根据圆的面积公式，内切圆的面积 s = πr2 ，由于r=1，所以π = 内切圆的面积。边长为2的正方形面积为4。在已知正方形的面积为4的情况下，如何求得内切圆的面积呢？ 布冯提出了投针的方法。假设10000根针“均匀随机”地垂直落在正方形上，每根针在正方形上形成一个“投点”。那么落入圆内的投点数量与圆的面积正相关：

简单推导，可得：

假设有8000根针落在了圆内，其余的2000根落在了圆外。此时，内切圆面积 ≈ 4 x 8000 / 10000 = 4 x 0.8 = 3.2，即圆周率π ≈ 3.2。

下述代码模拟了将数量众多的针投射到正方形，然后通过估算内切圆面积求得π的过程。

#picalc.py
import random                   #随机数模块
N,nHits = 10000,0               #总投点数，圆内投点数
xs,ys = [],[]                   #投点的x,y坐标列表

for i in range(N):              #N次投点
     x = random.random()*2-1    #随机数取投点坐标
     y = random.random()*2-1
     xs.append(x)               #投点坐标存入列表
     ys.append(y)
     if x*x+y*y <= 1:           #投点位于内切圆内
         nHits += 1             #圆内投点数 + 1

pi = 4*nHits/N                  #通过计算圆面积估算圆周率
print("pi =",pi)

import matplotlib.pyplot as plt    #绘图展现投点落在正方形/圆内的情况
from matplotlib.patches import Circle
fig = plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(xs, ys,'o', color='black', markersize = 1)
c = Circle(xy=(0,0), radius=1, alpha=0.4, color="black")
plt.gca().add_patch(c)
plt.show()

执行结果

pi = 3.1908

注：因为随机数的参数，读者执行的结果很可能会不同。

代码说明

• – N = 10000规定了投针的总次数；通过for循环，将投针N次。
• – random.random()返回取值区间为0-1的均匀分布的随机数；random.random()*2-1得到取值区间为-1到+1的随机数。
• – 循环内的x,y通过随机数取值，(x,y)代表了本次投针的落点坐标。每次投完针，都把坐标x,y存入对应的列表xs，ys，用于后续绘图。
• – x*x+y*y <= 1用于判断针的落点是否在内切圆内。这里事实上应用了点到原点的距离公式，当落点距离原点的距离不大于1时，说明该落点位于圆内，圆内投点数nHits增加1。这里需要注意，求点到原点的距离并没有进行开平方运算，因为不必要。
• – pi = 4 * nHits / N 应用前述推导公式计算内切圆的面积，也就是圆周率。

代码的后续部分使用matplotlib绘图库描绘了落针在正方形/圆形内形成的投点情况，如后图。程序的运行需要安装matplotlib库，其安装方法详见本书第14章。读者也可以先注释掉绘图相关的代码，这部分代码只管绘图，不影响前述投针估计过程。

读者可能还觉得上述圆周率的估计值3.1908不够准确。请修改N值，增加投针数量，再试一试。

本文节选高等教育出版社，《Pyton编程基础及应用》：