［读书笔记］有效数字是什么，有啥用，如何取？‖教研系列431

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除了高中物理实验题、计算题中可能会出现“计算结果保留*位有效数字”外，估计高中物理教师很少讲有效数字这个概念吧。

恐怕绝大多数师生仅仅知道怎么“数”有效数字，但对有效数字的确切定义、实际意义和操作方法并不是特别清楚。当然，课标、教材和高考对有效数字的考查要求也不高，仅仅需要根据题目要求会“数”有效数字位数就可以了。高中物理必修一（新教材）就明确说明了这一点：

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但是，从这一段文字可以看出，科学共同体对实验结果的记录有着较一致的方法，即教材所说“一定的数学方法”。那么这个“一定的数学方法”是什么呢？

下面就来讨论有效数字这个概念。

1. 有效数字的定义

首先来看高中物理教材（2019年版人教版）。

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接着我们来看《马祖尔物理学》一书的定义：

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阅读两本书，可以知道，有效数字这一概念都源自于测量工具测量读数，抛弃读数方面的各自约定，就数学方面的定义是一致的：

给定一个阿拉伯数据，从左边第一个非零数字算起，有几个阿拉伯数字，就称这个数据保留了几位有效数字。

​注意到，就阅读两书文字而言，发现就测量工具读数规则，两书规定有所不同。我国高中物理教材规定：

读数＝可靠数字+不可靠数字。

《马祖尔物理学》规定：

读数＝可靠数字。

注意到，就读数规则方面，我国教材没有给出权威约定，尽管读数都要求读出“不可靠数字”，即都需要估读，但是估读的方法各有说法，特别是分度值为2、5时，说法不一，导致不可靠数字的位数可能不一样，有的仅有一位估读数字，有的可能有两位估读数字。

《马祖尔物理学》似乎约定读数不需要任何估读，因为所记录的数据都是可靠数字。

2.有效数字的意义

阅读高中物理教材下面内容可知，直接来自于测量工具测量的所得实验数据，都应该反映出测量工具的测量精度，即分度值。

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​ 《马祖尔物理学》明确指出一个观点：

“通过用合适的有效数字个数来表达一个值，我们可以传递这个数值有多精确的信息。”

并做了详细论述：

“对于那些不包含任何零的数字，所有数字都被认为是有效的，也就意味着21有两位有效数字，正如刚才所说，而21.3有3位有效数字（表示真实值在21.25到2 1.35之间）。对于包含零的数字，情况就更加复杂了，开头为零，表明在第一个非零数字之前的任何一个数，都不是有效的。0.037有两位有效数字。在两个非零数字之间的零总是有效的，比如0.602。末尾零，是指那些在最后非零数字后出现的零，如3 . 500和20，在小数点右边的末位上的零总是有效的：25.10有4位有效数字。然而不带小数点的末位上的零就是模糊的，例如，7900这个数中的末位上的零就不确定是否是有效的。有效数字的位数至少是2，但也可以是3或者4。为了准确地传递数字的精确性，我们引人科学计数法的概念，这让我们可以把有效的零放到小数点的右边：7 . 900×10³有4位有效数字，7 . 90×10³有3位有效数字，而7.9×10³只有两位有效数字。注意事项：为了简化本书中的符号，我们考虑数字中的所有不包含小数点的末位零也都是有效的。例如，3400的有效数字是4位，30的有效数字是两位。”

可见，世界科学共同体都试图通过有效数字及科学计数法显示出测量数据或实验结果的精确度或可靠性，这就是有效数字的意义。当然，根据有效数字的定义，就有效数字记录方式有所差异。

3. 有效数字的位数确定

对于直接测量的数据，有效数字的位数完全有测量工具决定，即测量数据要反映测量工具的精度（分度值）。有时，也能反映出测量工具的量程。

然而，对于间接测量，也就是说要通过直接测量数据数学运算得到实验结果，有效数字记录方法比较复杂，正如前文所述，我国高中物理对此不做深入要求，在相关测验中由命题人就计算结果做出明确要求，被测验者按要求记录数据即可。

《马祖尔物理学》就间接测量数据的有效数字位数记录问题，做了非常详尽的论述：

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通过以上比较学习，号主认为，就“科学态度与责任”这一物理核心素养纬度培养方面，《马祖尔物理学》​应该更为好一些。我国教材之所以放弃或降低这方面的教育功能，恐怕是受到“减负”教育思潮及具体政策的影响。

“减负”思潮以来，恐怕已经有半个多世纪的“一减再减”之全国性教育实践了——减宽度、减深度、减难度，不是“双减”，而是“三减”；但是一减再减的结果是，学生的课业负担更重了，而且是全体性学生负担加重、是机械性课业负担加重，淹没了有天赋异禀的人才，扼杀了智能多元各异之个性。就此，恐怕值得全社会做大调查、大反思、大调整了。