无理数（根式）运算与化简、素数和算数基本定理

最近你数学根式化简总是错一两道，我系统地和你讲一下：

一）什么是无理数化简？为什么要化简？

如上面的几个二次根式的化简，就是通过无理数的运算把算式写成最简形式。为什么要这样做呢？因为简洁一致的表达才是数学的语言，一方面更容易让人理解，二方面容易比较相同或类似的结果。就像你们在学分数时，8/64=1/8，老师一定要写成既约分数的形式一样。

二）要化简成什么样子？

化简的标准：

• 最少的根号，比如下面这个叫复合根式，根式里面有根式，就要化简。可以合并同类项的要合并。

• 分母不能有根式，这个也叫分母有理化

• 根式内不能有可以开方的因子

三）根式内整数分解开方

1）素数与算数基本定理

你该问啦，化简就化简呗，这和什么素数有啥关系。

质数又称素数（prime number）一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

根据它的定义就知道，如果从乘除的角度来构成全体自然数，那么素数就是最基础的数字，是骨架。你在分数约分的时候，也会用到这一点。那个时候讲的是以下几个定义：

• 因数与公因数，最小公因数
• 公倍数、最大公倍数

可以回想一下，当时都是用素数或素数的乘积来运算的，包括你现在开根号也要把根号内的数字表示成素数乘积的方式。为啥呢？当当当当》》》》》》

算数基本定理

又称为正整数的唯一分解定理，每个大于1的自然数可以写成质因子按大小排列乘积的形式，并且写法有且仅有一种。（证明自己查资料研究）

（更为严谨的定义）

啥意思呢？就是你在分解根式内的整数的时候，不管你咋除，最后的结构都一样！！！只要你按因子大小顺序排，最后肯定有且只有一种形式。（这让我想起了玩斗牛的一个笑话，一个朋友说相同的五张牌，不同的二三配合就可以出不同的牛，我们都笑晕了）。一听基本定理就很牛吧，这个定理是由欧几里得提出并证明，最后由高斯拓展为代数基本定理。

2）整数的因数分解

这是整数的因数分解的基础，举个例子：1250=2*5^4 （后面的符号代表5的四次方）

（我还发现了个好玩的网站可以帮你完成因数分解，还有很多好玩的数学工具。https://zh.numberempire.com/）

根据这个因数分解的结果，就可以把可以开方的因数运算，从而得到简化的结果。

3）根式的基本运算法则

4）一个隐含的基础

整数的因数分解是数学上一个重大的问题，这个用在所有的银行及网络系统加密。没想到吧！你会感觉这有什么难的。原因是给出一个很大的数字，比如128位的数，要找到其质数因子分解的过程非常耗时和需要巨大的计算机算力。

你们做这个题目当让就不用啦，但是起码要掌握：

100以内的素数表

10或更多的平方与立方表

这样你就可以快速进行因式分解了。

比如112=16*7 那么根号112就可以快速分解为4根号7，用得多了你会越来越熟练。

总结一下：

1）根式运算与化简是为了形式简洁

2）化简有一定的标准

3）最基础的就是根式内部分解运算开方

4）整数因数分解的基础是算数基本定理

5）掌握了素数表、平方表和立方表可以帮助你快速分解因数

希望你可以掌握这方面知识。