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还记得当年的“阿尔法狗”机器人吗？阿尔法围棋(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能机器人，由谷歌(Google)旗下DeepMind公司戴密斯·哈萨比斯领衔的团队开发，其主要工作原理是”深度学习”。

而“深度学习”从本质来讲就是一种实现“机器学习”的技术。

机器学习是什么？

“机器学习”是一门多领域的交叉学科，涉及概率论、统计学、算法复杂度理论等多门学科。专门研究计算机怎样模拟或实现人类的学习行为，以获取新的知识或技能，重新组织已有的知识结构使之不断改善自身的性能。它是人工智能的核心，是使计算机具有智能的根本途径，其应用遍及人工智能的各个领域，它主要使用归纳、综合而不是演绎。

通俗来讲，“机器学习”使用算法来分析数据，然后从中学习，类似于我们中学学科的学习，听老师讲课然后加入自己的理解后消化，将此知识点学习成功并应用。“机器学习”来源于早期的人工智能领域，传统的算法包括决策树、聚类、贝叶斯分类、支持向量机等等。

Logistic 回归

Logistic 回归在机器学习中应用相对较多，下面介绍最大似然估计在 logistic 回归模型训练中的应用。

logistic 回归预测函数为 ：

其中 x 为输入向量，w 为权重向量，b 为偏置项。权重向量与偏置项是模型的参数，通过训练得 到。为了简化表述，用如下的方式对向量进行扩充合并

预测函数变为

这是样本为正样本的概率。样本属于负样本的概率为 1 − h(x)。这是一个伯努利分布。下面用最 大似然估计确定模型的参数 w。

给定训练样本集 (xi , yi), i = 1, · · · , l，其中 xi 为 n 维特征向量，yi 为类别标签，其取值为 1 或 0。根据伯努利分布的概率质量函数表达式，样本属于每个类的概率可以统一写成

由于样本独立同分布，训练样本集的似然函数为

对数似然函数为

求该函数的极大值等价于求下面函数的极小值

目标函数的梯度为

梯度的计算公式

目标函数的黑塞矩阵为

如果单个样本的特征向量为 xi = (xi1 · · · xin) T，矩阵 Xi 定义为

此矩阵可以写成如下乘积形式

对任意非 0 向量 x 有

因此矩阵 Xi 半正定，由于

对于如下的训练样本集，我们接下来将上面的交叉熵目标函数可视化。

每个训练样本的前半部分为样本的特征向量，后半部分为样本的标签值。标签值为 0 表示负样 本，标签值为 1 表示正样本。共有 4 个样本，这是经典的异或问题。如果在平面上将 4 个点显示 出来，两个类都位于正方形的对角线上，无法用线性分类器将它们分开。

图1为使用交叉熵损失函数时的目标函数曲面，是一个光滑的凸函数，可以确保找到全局极小值点。图中横坐标和纵坐标为权重向量的两个分量，竖坐标为目标函数值，这里将偏置项统一设置为 0。

图 1 使用交叉熵时的损失函数

下面考虑使用欧氏距离作为损失函数，定义为

图 2是使用此损失函数的曲面，不是凸函数。存在多个局部极小值点，寻找全局极小值存在困难。

图 2 使用欧氏距离时的目标函数

如果使用梯度下降法求解，根据梯度计算公式，梯度下降法的迭代更新公式非常简洁

上述内容来自《机器学习的数学》一书

本书覆盖了人工智能领域中与机器学习相关的数学知识体系，不仅囊括了微积分和线性代数等基本数学原理，还详细讲解了概率论、信息论、最优化方法等诸多内容。在讲解数学知识的同时也进行了举例说明，方便读者更具象化地理解抽象的数学理论，同时对机器学习算法有更深刻的认识。

如果大家有“高等数学”、“线性代数”、“概率论与数理统计”这三门课的基础知识，那么可以无障碍读懂本书。即使你没有学过前面这些课程，只要有高中数学的基础，理论上也可以读懂这本书。

本书满足几乎绝大部分读者在机器学习、深度学习、强化学习以及它们各个应用方向做学术、产品研发的需求。为了帮助读者以及高校老师使用，本书还配备了PPT教学资源。