奇妙的数学—数学趣闻

数学是一门奇妙的学科，从最简单的算数到极难的椭圆曲线问题，我们从中都可以看到一些仿佛和我们直观印象不符，有些反直觉的知识，还有一些很有意思的数学趣闻，下面就举一些简单的例子让大家感受数学的奇妙。

首先是最常见的一个问题：0.999…….是否等于1，其实按照现在实数定义，这两个数是严格相等的，并不是0.9999…的极限等于1，严格的证明可以使用戴德金分割来证明，一般使用1/3之类的证明是不严谨的，因为无限小数严格来说不能做四则运算。

算术中的1+1=2并不是公理，根据皮亚诺公理它是严格可证的。

科赫曲线：面积有限，周长无限。

托里拆利小号：体积有限，表面积无限。

不动点定理：把一张世界地图揉成一团，随机地丢地上，地图上的一个地点的垂直投影必定和现实中这个地点在空间上相重合。

e是无理数，π是无理数，那么e+π，e-π，e*π，e/π是有理数还是无理数呢？看似如此简单的问题，人们不知道。

不可计算数：蔡廷常数，这听起来有点不可思议，蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。

五次方程没有根式解，是不是很令人沮丧与费解，但这就是事实。

上下山问题：爬同一座山，上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。也有点反常识，但简单计算一下就知道了。

调和级数是发散的！

皮筋与蚂蚁问题：一只蚂蚁在理性弹性绳的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。弹性绳同时以每秒10cm的速度均匀地拉长，蚂蚁能否爬到终点？如果以每秒100cm的速度均匀拉长呢？

摆线长度：摆线长度等于圆直径四倍，这条与圆息息相关，怎么看怎么“无理”的一条线，长度不仅和π没有关系，还是个漂亮的整数倍！太不可理解了，一个圆滚出来的线居然与π无关。

正多边形有无穷多个，那么正多面体呢？有点意外，只有五种，其实这个不是很难证明，用欧拉定理就可以。

最大有意义的数：葛立恒数（当然现在不是啦，但他的构造是最让人能理解的，其它的Tree（3）之类构造就很难让人听懂），这个数的第一层就已经远远超出人类的想像，你甚至无法说出这个数的位数的位数的位数的位数（随便你写n多位数）。。。。。。（比如这个数的位数是10，而10的位数是2，2的位数是1）

关于维度：数学中的空间维度和物理中的维度定义是不尽相同的。数学中关于空间维度中的定义是过直线上一点可以做几条相互垂直的线。所以大家看一些科普读物的时候要做区分。

椭圆周长：椭圆周长没有精确的初等解析解，在不同需求的场合有不同的公式，中学课本讲的椭圆周长公式是误差比较大的一种。

不可能事件概率一定是0%，而概率是0%的事件，有可能是可能事件。

四色理论实际上是使用了穷举法证明的，这些数学家也太暴力了。所以现在还有人试图用更美的方法证明四色理论。

数学史的发展也充满了暴力，第一次数学危机是由于毕达哥拉斯的学生发现了无理数根号2，而毕达格拉斯解决这个危机的方法是：淹死他的学生希帕索斯。。。。。

生男生女问题：某国有规定夫妇如果生了男孩，就不能再生了， 如果生女孩，允许再生，直到生出男孩。但你不能人为干扰，比如坠胎之类的， 那么从数学上看，最后人群男女总比例会是多少？直觉上是不是感觉最后女孩会多很多？其实无论怎样，结果都是1：1

计算Pi的任意一位：如果我想知道圆周率的第2000位，是不是一定要算出前1999位？嗯，最起码在上个世纪90年代前是这样的，但数学家发现了BBP公式，所以现在你可以任意计算任何一位，而不需要知道它前面的值（仅限于二进制）。

让无数数学家伤心的定理：哥德尔不完备定理。简单来说该定理指出，我们目前的数学系统中，必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。该定理一出，就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统，从一些基本的公理出发，推导出一切数学的定理和公式。所以，哥德巴赫猜想，黎曼猜想一定能证明或者证伪吗？或者我们可以换个角度，去证明哥德巴赫猜想既不能证明也不能证伪。

著名的大炮打蚊子的证明：