一轮复习：系统机械能守恒中利用质心（重心）求最大动能

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质心——质量中心简称，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。

若重力场是均匀的，质心和重心是同一位置，在高中阶段，质心和重心是等同的。

例题：如图所示，

一质量不计的竖直圆盘可绕固定的水平轴O在竖直平面内无摩擦地转动。圆盘上固定着质量均为m小球A和B，且OA＝√3a，OB＝a，OA与OB垂直。当OA处于水平位置静止释放，则在圆盘转动过程中，下列说法正确的有（）

A.转动过程中AB球组成的系统机械能守恒

B.当A球位于O点正下方时，圆盘转动的角速度达到最大

C.圆盘转动过程中，圆盘始终对A球不做功

D.圆盘沿顺时针方向转动到角速度为0时OA与竖直方向成30°角

解析：选AD。圆盘在竖直平面内无摩擦地转动，对于A、B球组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；A、B球组成的系统重心位于两者连线的中点，当系统的重心到达点正下方时，系统重力势能减少量最大，则动能的增加量最大，圆盘转动的角速度最大，可知，当A球位于点正下方时，圆盘转动的角速度不是最大，故B错误；圆盘转动过程中，由于B的机械能是变化的，由系统的机械能守恒知，A的机械能是变化的，由功能关系可知圆盘对A球做功，故C错误；设圆盘沿顺时针方向转动到角速度为O时OA与竖直方向成角，根据系统的机械能守恒知：从开始释放到圆盘角速度为0的过程中，A的机械能减少量等于B的机械能增加量，得mg·3acosα=mga(1+sinα)，解得α＝30°，故D正确。

对于B选项，常规解法：

设小球A转动θ时，圆盘转动的角速度最大，OB也逆时针转动θ，A下降Lsinθ，B上升L(1-cosθ)，A减少重力势能√3mgLsinθ，B增加重力势能mgL(1-cosθ)，A、B系统减少的重力势能√3mgLsinθ-mgL(1-cosθ)。

系统重力势能最小时，也就是减少的重力势能最大，根据机械能守恒，动能即最大。

也就是求√3mgLsinθ-mgL(1-cosθ)的最大值。

求√3sinθ-1+cosθ的最大值

当θ=60°时最大。

两相对位置不变的小球质心位置的计算：

两小球到质心的位置与质量成反比。

例题：质量不计的直角支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.

开始时OA处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，求系统的最大动能。

【解析】如图所示，

在高中物理中，质心和重心是等同的。A、B两小球的质心位置在C点，把A、C两小球等效为小球C，质量为3m.AC的长度可以根据几何关系得到，为2√5l/3，

OC的长度可以由正弦定理得到：

当OC转过45°时，小球C位置最低，重力势能最小，因此A、B此时动能最大。

可以得到上述答案。