量纲分析——一个强大的工具

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量纲分析

北京航空航天大学物理学院 郝维昌

量纲分析的起源不是很明确，最早出现在1799年法国数学家达维特的一篇文章中，他的结论是有意义的定律必须是所有可观测量量纲的齐次方程。这一思想后被称为白金汉π定理，由美国物理学白金汉（Edgar Buckingham，1867-1940）1914年再次给出了严格的证明[1]。其实在100多年内的时间被众多数学家和物理学家对这个问题都进行了讨论，傅里叶、泊松、麦克斯韦等大家都很重视。量纲分析还用于推导人们希望理解和表征的特定现象中涉及的物理量之间的关系。在这方面瑞利勋爵（Baron Rayleigh， 1842-1919）工作最为引入注目，瑞利用量纲分析解释了天空为什么是蓝色的。

白金汉π定理：

一个系统含有个N未知量，可以用函数f1表示

这些未知量含有K个基本物理量，这些未知量的量纲可以表示为N-K个无量纲量为自变量的函数，即

关键是我们如何确定这些无量纲量呢？首先，我们需要选取K个变量，且这些变量的量纲包含了所有的基本物理量；每个无量纲数即为由这些重复变量加上另外一个非重复变量构成的函数

任意一物理量Pi的量纲都可以有K个基本量纲导出

这些系数构成一个方阵

量纲可以看做矢量空间中的矢量

如果把

看做维空间的正交基矢，那么

就是矢量的坐标。

所谓的K个物理量独立的只不过是这些系数组成的矩阵的行列式不为零

如果前个K 物理量的量纲是独立的，第K+1个物理量量纲一定可以由前K个物理量导出，也就是上面说的第一无量纲的函数

由这个线性方程组，便可以解出一组系数，这组系数便是用K个独立物理量的量纲表示第K+1个物理量量纲的系数。也就是这些物理量相互之间的关系。这时候很可能会有些无量纲的系数，这个我们是无法得到的。以此类推我们可以得到K+2, K+3一直到第N个物理量PN。

下面给出两个例子

1. 单摆的周期

是基本量纲，K=3

我们选取m,g,l为参考量纲，K个参考量纲+剩余量之一组成无量纲量，由于N-K=2，所以存在两个无量纲

矩阵形式

无量纲量

无量纲量

由白金汉定理可知，

因为摆幅很小时，

取最低阶

系数你可能猜不出来！（谐振子与圆密切相关，所以是2π）

2. 泰勒精准预测原子弹爆炸能量

1945年7月16日美国在新墨西哥周爆炸了世界上第一颗原子弹，1947年在美国解密了原子弹爆炸后火球随时间变化的照片，但原子弹的爆炸能量仍然属于机密。英国物理学家泰勒教授根据照片序列将原子弹的能量竟然算了出来。泰勒注意到火球随着爆炸时间增加逐渐变大，虽然不是线性的但其结构相似。因此这一定是一个标度物理过程。因此可以利用量纲分析进行处理。泰勒认为这一过程只依赖于能量E、气体密度ρ、热容比γ，加上火球的半径R和时间T，这个系统中只有5个物理量，而力学系统只有三个基本的量纲[m]=M、[l]=L、[t]=T，其热容比γ本身就是无量纲的量，因此仅需再构造一个无量纲量即可。

图 1 原子弹爆炸后火球随时间变化的照片

按照矩阵形式将物理量的量纲列出

因此

求得物理量量纲吸收

因此

图2 爆炸火球的Log R – Log t曲线

泰勒根据照片上的数据对Log R – Log t作图，得到斜率为-2/5，这让他获得极大信心。即爆炸能量可以用下式表示

对于火球系统

，平均来说

对于Ψ(γ)数值，泰勒假设取值从1.2-1.667之间，计算了不同的能量值，取为1.4时，爆炸能量E=7.14 x 1013 J = 1.71万吨TNT当量，真实再现了第一次原子弹爆炸的能量值。由此可以看到量纲分析的威力。

参考文献：

1. E. Buckingham. On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations. Physical Review 1914, 4: 345-376.

2. G. Taylor. The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. Theoretical Discussion Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 1950, 201 :159-174