几何学的由来

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

几何学是继算术之后，最初发展起来的数学分支，比相对简单的代数学要早上千年。

那么人类为什么要先难后易发展几何学分支呢？简单地讲是实际需要。几何这个分支的发展过程，反映出人类认知的进步过程，因此我们有必要简明地回顾几何的发展史，看看人类是怎么样总结规律的。

我把几何学早期的发展分为三个阶段。

第一阶段是从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识的过程。

今天英语所说的“几何”一词geometry源于希腊语，它是由“土地”的词根（geo）和“丈量”（metry）一词合并而成。顾名思义，几何最初确实源于对土地的丈量。

当然，几何学传到古希腊已经是很晚的事情了，它源于更早的古埃及文明的初期。早在6000年前，埃及人为了农业生产，就发明了天文学和几何学。

无论是农耕还是建筑，都离不开土地丈量、基本图形尺寸的测量和计算，这方面知识积累多了，就形成了几何学的常识，注意我这里用的是“常识”，而不是“理论”。

我们先来说说古埃及的农耕和几何学的关系。古埃及农业发达的基本条件有两个：

完全依靠尼罗河洪水每年泛滥后带来的肥沃土地。它的农业生产过程是这样的：每年尼罗河洪水退去后，他们就在洪水淹过的土地上耕种，但是耕种之处又不能离河床太近。因此他们要计算河水在一年不同时间的边界。

有明确的播种和收获时间。既不至于播种太早，洪水依然没有退却，又不至于播种太晚，以至于误了农时。

这些事在今天看来是再容易不过的了。比如我们可以到了春分节气左右播种，到了夏至左右收获就可以了。至于河水涨落的边界，我们记下12个月它涨落的边界变化即可。但是这两件事在古埃及并不容易，因为在没有准确的计时工具之前，我们人是无法通过身体感受来体会一年四季具体的时间的。

找到每一年开始的基准时间，对于古埃及人来讲就是一道几何学问题。当时没有钟，所以了解时间就要靠观测星象，看看新的一年是不是又开始了。古埃及人把太阳和天狼星同时升起的那个时间算成一个大年（天狼星年）的开始。

这个方法也是非常有道理的。由于地球围绕太阳转，每天同一时刻从地球上看天狼星的角度，会有不同。但是当地球转回到去年的位置，看天狼星的角度就相同了。

在图中，地球回到了能同时看到太阳和天狼星升起的公转位置时，就被确认为一年的开始。

之所以选天狼星，是因为它是天上除了太阳最亮的恒星，而且在天上的位置是固定不变的（其实也在非常缓慢地变化）。古埃及人就算出来这样一个周期是1461天，地球就又回到了原来的位置，也就是我们今天的四年时间。

由于古埃及没有闰年，它无法每四年校正一天，于是便采用了每1460个阳历年增加一年的方式来校正。也就是说古埃及的1461年，等于今天的1460年。古埃及人把这个1461年的大循环周期，叫做一个天狼星年。然后，古埃及人就按照这个周期，编制了一个八万多年的大历法，有了这个历法，什么时候播种，什么时候收获就清楚了。

从这个例子可以看出古埃及人对几何学的角度和圆有了感性的认识。

促使古埃及几何学发展的是大规模的城市建设，包括建造大金字塔。在修建胡夫金字塔的年代（距今大约 4600 年），他们就知道了勾股定理，对圆周率也有了初步的了解，他们估算出的圆周率为3.16，和真实的值相差不到千分之一。

他们在大金字塔上留下了很多几何关系，向我们表明他们的几何学成就。这可以认为是几何学发展的第一个阶段，从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识。

几何学发展的第二个阶段和第一个几乎是平行的，就是生活在今天伊拉克境内的美索不达米亚人发明了角度量化的度量。

我们知道平面几何所需要度量的最主要的对象，一个是长度，另一个就是角度，前者比较直观容易，后者比较难。美索不达米亚对几何学最大的贡献在于发明了量化度量角度的方法，就是我们今天360度的原则和角度上的60进位。

美索不达米亚人对几何学的研究，也源于占星或者天文学的目的。占星在早期可不是算个人的运势，而是和农业生产有关，星空不同位置和地球上一年某个特定时间有着一一对应的关系。而在地球上一年特定的时间，植物和动物都会处于类似的生长繁衍阶段，因此古代美索不达米亚人就把天上星星的位置和地上发生的事情联系起来了。

那么美索不达米亚人又是怎么标记星星的呢？早在苏美尔人统治那里的时期，他们就发现每个月看到的星空会有十二分之一的差异，于是他们就把天空分成了12份，每一份用一个有代表性的星座来代表，这就是今天12星座的由来。

由于一个月大约有30天，于是他们就把一年看到的天空，又分为了12×30=360份，每一份就是我们今天说的一度角。我们今天学习几何学时可能会有一个疑问，一个圆为什么有360度，而不简单定义为100度？原因就来源于美索不达米亚早期的几何学。

当然，以360度作为进位的基本单位太大、太复杂，他们选用了它的1/6，即60为进位单位。60这个数在数学上特别漂亮，因为它可以同时被1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30和60整除，因此使用很方便。60进制也就这样产生了。

几何学发展的第三个阶段就是用书记录他们所发现的规律。这样知识就便于传播。

今天存世最早的几何书是古埃及的《莱茵德纸草书》，它成书于公元前1650年前后。不过该书的作者声称，书中的内容是抄自古埃及另一本更早的书，那本书写于公元前1860—公元前1814年之间。这样算下来，世界上最早的几何学文献应该在3800年前，这比殷墟甲骨文的历史都长。

相比之下，代数的历史则短很多，到了古希腊时期才基本定型下来，相差了至少一千年。在人类的早期文明中，肯定有很多算术解决不了的问题，那么怎么办呢？说起来很有意思，古代文明的人会用几何学的方法来解决本该属于代数的问题。

在美索不达米亚出土的泥板上，也记录了当时人们总结了非常多的几何学知识。比如在古巴比伦王国（公元前1894—公元前 1595年）留下来的大约 300 块泥板上，记载着有关各种几何图形的计算方法。

比如在平面几何方面，他们掌握了各种正多边形边长与面积的关系。他们尤其对直角三角形和等腰三角形了解较多，并掌握了计算两者面积的方法，他们还知道相似直角三角形的对应边是成比例的，等腰三角形顶点垂线平分底边。

值得一提的是，他们也知道了勾股定理，给出了很多组的勾股数，其中一组最大的勾股数是（18541，12709，13500），发现这么大的一组勾股数非常不容易。当然知道了勾股定理就有可能利用它来计算一个数的根号，美索不达米亚人也这么做了，他们算出根号2大约是1.41。此外，古巴比伦人还给出了一些角度的三角函数值。

那么几何学又是怎么传到古希腊的呢？美索不达米亚有一个特别喜欢外出经商的民族——闪米特人，他们是今天犹太人和阿拉伯人的祖先。闪米特人的一支腓尼基人在地中海沿海和很多岛屿建立了殖民地，并且把美索不达米亚的科学传播到各地。

直到毕达哥拉斯的时代，美索不达米亚人和腓尼基人建立的殖民城市，科学和艺术水平远高于希腊诸岛和本土。各地的人们都到那里学习数学、天文、科学和艺术，毕达哥拉斯也是留学生中的一员。受益于腓尼基人对知识的传播，数学，特别是几何学传到了希腊文明圈，并且在那里形成体系。

在毕达哥拉斯学派的手中，几何学逐渐成为单纯基于逻辑推理的数学工具。到了公元前4世纪—公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得等人完成了对几何学公理化体系的构建，并且写成了《几何原本》一书，关于这个公理化体系，我们明天再讲。

通过早期几何学3000年的发展，我们可以看到它经历了三个阶段：首先，从懵懂的感性认识到量化的感性认识，其标志就是通过几何学确立了一年的长度。接下来，确立角度的单位。这两步都和天文学有关。

最后，把知识总结记载下来。这个过程也是我们应该学会的认知过程。我们人通常缺的是第二步，对新的事物不知道如何定义度量单位，而没有这一步，总结出来的知识就难以准确描述，只能大概定量描述。

当然，最后几何学变成一个公理化的知识体系，人类发现各种引理、定理和推论，主要是希腊人的功劳。这个过程反映出人类认识从具体到抽象，从简单事实，到完整理论的过程。

那么为什么是古希腊人，而不是更早的古巴比伦人完成了几何学理论的构建呢？一般认为，希腊人对物质生活要求很低，把大部分时间用于了理性的思考和辩论，这让他们能够从知识点中抽象出概念，然后形成体系。

另外，古希腊没有强权的政治，这让学者可以仁者见仁，智者见智，这才有利于科学的发展。这两点也给了我们一些启发。