微分的含义：在运动中捕捉静止；积分的含义：在时间尽头守株待兔

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许多人在学习微积分的时候，总是怀着”动态带来变化“的信念，特别执着地要将它跟“运动”联系在一起。似乎强调它的复杂与困难，学习者更能与有荣焉。

这多少跟恩格斯对微积分的那句评价有关：

只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。

这个评价不见得全对哦！

鸟鸣山空，不易入睡；火车咣咣，特别催眠。

研究运动，谁说不是为了追求静止；直面复杂，何曾不是为了找寻简单！

复杂的往往是我们要解决的问题，而微积分是我们解决问题的工具，谁会把工具造得难以操作！

而且，谁规定长一双腿就得跑过刘翔，造一副拐就得卖给范伟？人人学点微积分，没毛病！

其实，微积分的底层逻辑是“制动”，把动态的、非线性的逻辑关系转换成静态的、线性的逻辑关系。

下面我们拿“列车运行”这一动态事件，做一个简单分析。

首先，我们一个用方程式来描述这一事件：s=vt，s-距离， v-平均速度， t-时间。

事实上，这是初等数学里常见的方程式。实践中，列车肯定不能一直匀速运行。由于起动、停止、坡度、风阻等许多的变量存在，速度v肯定也是一个变量。

所以，我们改用一个函数来表达：s=f(t)。至于s与t的关系式究竟要怎么写，我们先不管它。

那么速度该怎么描述呢？从上述可见，速度变量v也跟时间t有关，我们也用一个函数来表达：v=g(t)。和s=f(t)一样，我们先这样写了，写完丢一边，爱咋咋地！

一切计算的基础是加减法，然后是乘除法。人类史上第一个遇到2X2=？这个问题的人，一定是数完4个数才确定答案的。至于三角函数、对数、开根号等等，本质上都是方程式，归到底，还是要用加减乘除来计算结果的。

从某种意义上说，数学不只是逻辑，也是经验。

所以，要求得距离s，我们必须要找到它与速度v，在时间上的线性关系。

如果速度v始终随着时间t的变化而变化呢（起动加速阶段）?没关系，我们来开一下脑洞：

只要在一个不能分割的、无限小的时间点Δt上，就能求得瞬时恒定的速度v。

于是，得速度的线性表达式：v=Δs/Δt，记作f'(t)，也就是函数s=f(t)的导数。

然后，f'(t)=g(t)，那么，s=f(t)是v=g(t)的原函数，v=g(t)是s=f(t)的导函数或被积函数。

知道s=f(t)的关系式，可以求导得到v=g(t)的关系式；知道v=g(t)的关系式，可以通过不定积分，得到s=f(t)的通项关系式。

我们变换一下v=Δs/Δt的表达式：Δs=f'(t)*Δt，f'(t)*Δt就叫做原函数s=f(t)的微分，也是被积表达式。

从整个过程看，我们在研究“列车运行”这一动态事件时，关键是找到了一个抽象时空点Δt。Δt不能再被分割且无限趋近于0，那么Δs也无限趋近于0。

如果位移Δs无限趋近于0，那列车在时间Δt上，是不是无限趋近于静止？

但是我们终究不需要计算f'(t)*Δt，因为在时间区间t∈[t1，t2]上，有无限多个f'(t)*Δt。

通过积分，将无限多个微分单元f'(t)*Δt打个包，转换成原函数s=f(t)的两点间距：

得： ∫f'(t)*dt，t∈[t1，t2]=s(t2)-s(t1)

我们给出假定条件，再计算一下上述过程。

假设，已知导函数v=2t，求在t∈[0，10]内，列车行进的距离s。

对函数v=2t，进行不定积分得：s=t^2+C(常数)。

则，s= ∫2t*dt，t∈[0，10]=s(10)-s(0)=10^2-0^2=100。

为求微积，我们将时间分成无限个静止。通过积分，我们又穿越到时间的尽头。一切源于微积分的朴素思想：将高维空间的混沌逻辑，转换成低维空间的线性逻辑。粗暴点说，能简单的就别搞复杂了！