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文 | 咸鱼永不放盐

编辑 | 咸鱼永不放盐

«——【·前言·】——»

上个世纪的物理学主要是以弱耦合系统的研究为主导，通常描述这些系统的有效场论，可以用弱相互作用的粒子理解，关于凝聚态系统，其中一个重要里程碑是所谓的朗道费米液体模型，它描述了自然界中绝大多数的金属和绝缘体。

在动量空间中，这个面位于k=kF处，其中，kF被称为费米动量，在费米面附近的低能激发是弱相互作用的粒子，称为准粒子，尽管基本费米子之间可能存在相互作用，但这些准粒子还是具有与基本费米子相同的电荷和统计性质。

«——【·规范重力二元性·】——»

在上图中，用简单直观的思想介绍了规范/引力对偶，AdS-CFT对偶关系，即反德西特空间/共形场论对偶，最初是在弦论的背景下发展起来的，关于规范/引力对偶在凝聚态物理中的作用，已经有了很好的综述文章。

AdSd+1是一个d+1维、具有负曲率的最大对称度量空间，其中最大对称度指的是它具有最多的独立杀死矢量，AdSd+1的一个方便的参数化形式是Poincaré坐标系，ds2=L2z2(dz2+ημνdxμdxν)。

而AdS/CFT对偶可以用以下方式表示，AdSd+1真空中的d+1维经典引力理论，与强耦合的平坦空间中的d维CFT的大N极限是等价的，其中N表示每个格点上的自由度。

为了理解上述陈述，需要澄清三个问题。为什么要考虑共形场论，如何将d+1维理论的自由度与d维理论的自由度相匹配，为什么大N极限下对偶的CFT是强耦合的，对于第一个问题的答案非常简单，只要对共形场论和AdS空间的基本性质有所了解即可。

其中，ημν是具有闵可夫斯基签名(1, d−1)的对角平坦度量，L是一个叫做AdS半径的常数参数，d+1个坐标是(t,xi,z)，而在接下来的讨论中，希腊指标表示边界坐标{t,xi}。

可事实上，AdSd+1的等度规群SO(2,d)恰好是addimensional共形场论的对称群，如果AdS空间的某个区域存在量子场论，自然可以假设它在AdSd+1的对称群下是不变的，但为了直观理解第二个问题，仍需要借助全息原理。

这个原理认为，d+1维空间中的引力理论在任意局域区域内的自由度数目，与该区域边界上的量子场论的自由度数目相似，为了理解这个基本原理，需要使用著名的贝肯斯坦-霍金面积定律，它描述了黑洞的熵。

研究人员根据该定律，得出黑洞是热力学对象的结论，它的熵与其视界的面积成比例，即SBH=A4Gd+1，其中A是视界的面积，Gd+1是牛顿常数的新状态单位，由于考虑到黑洞的熵必须是相同体积中其他任何物体的最大熵。

因此，每个空间区域的最大熵与边界的面积成比例，而不是与封闭区域的体积成比例，这个最大熵比在相同空间区域中的局域量子场论要小得多，后者的状态数目为N∼eV，而最大熵S∼logN与体积V成比例。

相比之下，空间中一个区域的最大熵，可以与在d维中生活的局域量子场论的自由度数目Ndof相关，AdS/CFT对偶是这个原理的一个特殊实例，其中引力理论存在于AdSd+1真空中，其自由度则编码在共形边界上。

为了澄清这一点，研究人员计算了AdSd+1的共形边界的面积，使用嵌入在常半径z和时间t上的度规，可以得到A=∫z→0dd−1x√gd−1=∫z→0dd−1xLd−1zd−1，这是共形边界所在的位置，所以gd−1是嵌入度规的行列式，取极限z→0。

而积分由于z→0极限和dd−1x的积分测度产生发散，需要正规化，为了做到这一点，需将积分进行正则化至一个小值z=，并将空间包围在闭合的空间体积Vd−1中，图中，研究人员对规范/引力对偶，进行了简单的介绍。

AdS-CFT对偶是关于反德西特空间和共形场论之间的等价性，并且AdS是一个具有负曲率的最大对称度规空间，而CFT是一个量子场论，根据AdS/CFT对偶，AdS空间中的引力理论与边界上的CFT之间存在等价关系。

为了理解这个对偶关系，首先考虑了共形场论和AdS空间的基本性质，AdS空间的等度规群与共形场论的对称群非常相似，这是对偶关系的基础，而接下来需要研究的是，AdS空间和边界量子场论中的自由度匹配的问题。

根据全息原理，AdS空间中的自由度数目，与边界上的量子场论的自由度数目相似，通过计算AdS空间边界的面积来理解这一点，并将其与量子场论中的自由度进行比较，还讨论了大N极限下对偶的CFT为什么是强耦合的问题。

同时，研究人员注意到，对于经典引力理论来说，引力激发的典型长度必须远大于普朗克长度，这是因为在经典引力理论中，引力激发的典型长度与AdS空间的半径L有关，通过匹配引力理论和CFT中的自由度数目，可以得到一个条件，即L与N之间存在着关系。

CFT是强耦合的问题，与引力理论中额外的径向坐标z的物理解释有关，将z的截断R与CFT的UV截断相关联，并且把额外的径向坐标与重整化群流联系在一起，种种联系说明了CFT是强耦合的。

可从引力理论的角度来看，靠近共形边界的物理是大体积物理，而靠近AdS黑洞视界的物理则是小尺度物理，相比之下，从量子场论的角度来看，大体积物理对应于小尺度的UV物理，反之亦然。

通过上述讨论，可以证明AdS/CFT对偶的合理性，并阐明了CFT中的主要场与引力理论中的场之间的关系，而为了计算强耦合CFT中的进一步可观测量，需要一种将引力理论的可观测量与CFT中的可观测量联系起来的方法。

方法也很简单，可以通过在CFT Lagrangian中添加局域算符的源来实现，这个源可以通过与引力理论中的场的边界条件相联系。

通过这种方法，可以计算强耦合CFT中的可观测量，AdS/CFT对偶为我们理解强耦合量子场论提供了一种有力的工具，从经典引力理论的角度来计算CFT中的物理量。

当r→∞时，场的主导r依赖行为，可以由一个适当的边界条件在视界处唯一确定，在AdS空间中，有一个从体内场到边界场的一对一映射关系，实际上，对于每个局域算符O(x)，都对应一个源h(x)，该源是一个体内场h(xμ,z)在AdS空间中的边界值。

为了推断哪个场应与给定的算符相关联，对称性起到了很大的帮助作用，而由于没有完全一般的规则，作为一个经验法则，既然引力部分的场的内部对称性，能在对偶场论中得到保留，通常情况下可以说，体内场的自旋对应于边界场论中的对偶算符的自旋。

这时就需要用一个定量的例子，来分析一个量子场论的一个非常基本的量，即应力-能量张量Tμν。

利用前面的规则编码，使其到对偶的引力部分中，特别地，Tμν的源应该是一个张量gμν，为了获得一个规范不变的耦合项∫ddxTμν(x)gμν(x)，gμν(x)，应该是一个对应于局域平移不变性的边界值的规范场。

当讨论的场是度规张量gab(xμ,r)时，其边界值为limr→∞gab(xμ,r)=gμν(x)，而其中拉丁指标表示体内坐标，前述方程的右边应该理解为，将体内度规嵌入到r=const的超曲面上，前述例子使能够作出一个重要的观察。

但事实上，刚刚解释了度规张量gμν，因为对偶场论具有全局平移和旋转不变性，所以在引力体内源变形不变性的情况下，源于对偶场论中的应力-能量张量Tμν，它是一个全局守恒流(∂μTμν=0)。

在此基础上，可以断言，在引力方面，全局对称性正以大规范变换的形式出现，换句话说，在规范理论中的全局对称性，与对偶引力理论中的规范对称性之间存在对应关系，而场与算符之间的这种联系，使能够将对偶表达为分区函数之间的相等关系。

它作为这个框架中的一切，仍然是个猜想，断言CFT的分区函数ZCFT[{h(x)}]，等于对偶引力理论的分区函数ZAdS[{h(xμ,z)}]，ZCFT[{h(x)}] =ZAdS[{h(xμ,r)}]，而其中{h(x)}是与各个局域算符相关联的所有源的集合，{h(xμ,r)}是体内场的集合。

对于这个方程的右边，除了在大N极限下，以及这个引力理论变成经典理论的情况之外，没有一个非常有用的概念。在这些极限下，可以通过鞍点近似来进行路径积分，而对偶的表述变成了ZCFT[{h(x)}] =eiSAdSd+1[{h(xμ,r)}]∣∣∣r→∞。

其中，SAdSd+1[{h(xμ,r)}]∣∣r→∞是在运动方程的一个解上，评估的经典引力作用，能够形式化AdS/CFT对应的第一个操作规则，规范/引力对偶是一个将分区函数相关联起来的对应关系，该对应关系将dd维CFT的分区函数，与AdSd+1中的引力理论的动作关联在一起。

所以我们可以得知，ZCFT[{h(x)}] ↔eiSAdSd+1[{h(xμ,r)}]∣∣∣r→∞。CFT的算符，与体内场的关系按照以下规则进行，AdSd+1中的场↔CFTd中的局域算符引力场的自旋↔CFT中，局域算符的自旋算符的源通过体内场，在边界处的行为编码在引力方面。

«——【·温度和化学势·】——»

在设定了AdS/CFT对应的基本原理之后，现在需要讨论它在真实世界系统中的应用，限制在可能的凝聚态应用中，必须面对如何在之前讨论的全息框架中引入温度，和化学势的概念的问题。

具体来说，只需要在引力中引入温度，但一个自然的对象是黑洞，黑洞具有自己温度的热对象，并且遵守热力学定律。事实证明，渐近反德西特黑洞的引力对偶继承了体内黑洞的全部热力学性质。

更具体地说，最简单的渐近AdS黑洞解是Einstein方程的AdS-Schwarzschild解，由度规给出，ds^2 = L^2/z^2(-f(z)dt^2 + dz^2/f(z) + dx_idx_i)，f(z) = 1 – (z_h/z)^d_h，在z=z_h处，gtt为零，并且可以证明这是一个真正的黑洞视界。

而黑洞的温度恰好是对偶场论的温度，即：T = d/4πz_h。在同样的精神下，对偶场论的熵恰好是黑洞的熵，可以通过引入面积定律来计算，即，S = S_Vd-1 = L^(d-1)/4G^(d+1)z_h^(d-1)，其中G^(d+1)是d+1维牛顿常数，S_Vd-1是对偶场论的d-1维空间体积。

在定义了温度和熵之后，所有其他热力学量都可以通过基本热力学关系来求得，通过这种方式，可以用经典引力体系的视界半径，和其他参数来表达对偶场论的热力学，但由于大多数典型的凝聚态设置在有限的电荷密度下，还需要理解有限化学势情况下的引力对偶。

也就是说，还需找到具有U(1)守恒对称性的体系的引力类比，解决这个问题可以澄清规范/引力对偶的一个重要方面，以及局域和全局对称性之间的对应关系，如前所述，对偶强耦合理论中的全局共形对称性，对应于引力体系中的局域微分不变性。

这个观察建议了一般的对应关系：引力理论中的局域规范对称性对应于对偶场论中的全局对称性，要描述全局U(1)对称性的物理，应该在我们的体积空间中添加一个Maxwell场，因此最简单的引力作用形式即是爱因斯坦-麦克斯韦引力。

R_ab – (1/2)g_ab R – (d(d-1))/2L^2 g_ab = -κ^(2(d+1))q^2 T_ab，其中T_ab为应力能张量，T_ab = (1/4)g_ab F_cd F^cd – F_ac F_b^c，κ^(d+1)，和q分别是引力和Maxwell耦合常数，电磁场强度的运动方程为 ∇_a F_ab = 0，其中∇_a是通常的协变导数。

如果想要得到有限密度ρ，需要在体积中开启规范场，使得J^t的时间分量〈J^t〉=ρ具有非零的期望值，但是，根据标准的词典，场在共形边界上的值充当了对偶算符的源，综合起来，记住在对偶层面上，电荷密度ρ的源是化学势μ。

为了找到有限电荷密度系统的引力对偶，需要施加以下条件，当z趋向于0时，At=μ， 这是第一个基本条件，第二个条件是希望在远大于化学势μ的能量尺度上恢复标度不变性，也就是说空间-时间在渐近AdS时是渐近AdS的。

«——【·结论·】——»

在这个综述中，概述了AdS/CFT技术在分析强耦合凝聚态系统中的一些可能应用，具体而言，关注展示动量耗散机制的全息模型，重点关注其热电输运性质。

而最重要的结果是，全息学坚持认为，只需要四个现象学参量，就足以完全确定强关联等离子体中的六个独立输运系数。

无论是从理论上还是实验上，都还需要进行更多的工作，从理论的角度来看，找到一个稳定的黑洞解，自然地包含了所有铜氧化物的标度律，从实验的角度来看，需要对高温超导体奇异金属相的热输运系数进行更仔细的分析。

以便与全息理论预测进行有意义的比较，这实际上奠定了一个极为引人注目的情景，即可能是首次，弦论物理学家可以与凝聚态物理实验者并肩工作。

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