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光学小知识
宇宙之初，大爆炸首先发出的是光。我们来到这个世界上，睁开眼睛首先看到的是光。古老的《圣经·创世记》中说上帝创造世界，首先创造的是光。由此可见光学的重要。
古往今来，无数极具聪明才智的人研究过光。在近代，自1900年诺贝尔奖开始颁发以来，至少有三十多人因光学研究获奖。他们的发现与发明改变了我们的生活。今天，光学已经成为一门极为庞大复杂的学科，包括经典光学（几何光学、波动光学）、量子光学（激光光学、信息光学）、应用光学（天文光学、大气光学、海洋光学、生理光学…）等等。
本文先介绍经典光学中的一些基本知识与故事。
反射
光无处不在。反射（Reflection）是我们最为熟悉的光学现象：早上起来梳洗照镜子是反射，黄昏河面上的倒影是反射（图1），室内灯光的反射随处可见。
图1，黄昏河面上的反射
最早发现反射原理的是古希腊伟大的数学家欧几里得（Euclid，约公元前325－公元前270）。欧几里得生活在埃及的亚历山大城。当时亚历山大大帝（Alexander the great，公元前356－323）已逝。他儿时的伙伴托勒密一世（Ptolemy I，公元前366－公元前282）自立为埃及王（有人说他是亚历山大父亲的私生子，是亚历山大的同父异母兄弟）。亚历山大城不但是繁荣的经济、政治、文化中心，而且有世界上最好的图书馆。欧几里得大约比亚里士多德（Aristotle，公元前384－公元前322）晚60年。他曾经去过雅典柏拉图（Plato，公元前428或427－公元前348或347）创立的学院（Academy）学习。欧几里得最著名的是他的《几何原本》（Element）。这本书有13卷，其中有不少是我们中小学必修的内容。
Q&A
Q：欧几里得还著有一本《光学》（Optics），上面讲述了反射的原理（图2）。他证明了在不同的位置看到的反射是不同的。今天我们看到的哈哈镜用的就是这个原理。
A：哈哈镜的表面是弯曲的，因此入射角与反射角不断变化，导致了镜像的变形。
图2，反射原理
折射
在一只透明的玻璃杯中注入水，再放进一个吸管，我们会看见吸管似乎是断成两截（图3）。这就是折射（Refraction）了。
图3，装着水的玻璃杯产生折射，使吸管看上去像是断成两截
最早发现折射的是聪明的托勒密（Ptolemy the wiser，其原名为Claudius Ptolemy，100－170）。这位托勒密是托勒密一世的后裔。在他生活的年代，延续了近300年的托勒密王朝早已倾覆。他所生活的亚历山大城则是在罗马帝国的统治之下。当年托勒密一世曾经向欧几里得求教有没有学习几何的简单方法，欧几里得说“几何前面没有皇家之路（Sir, there is no royal road to geometry）”。聪明的托勒密在世时只是一位学者，没有什么权势和财富。但今天我们知道更多的是他，而不是他当皇帝的先祖们。
聪明的托勒密学问精深，是著名的天文学家、数学家和地理学家。在天文学方面，他编辑了有1千多个星星的星图。特别是他引进了“本轮”（epicenter，即周转圆），使亚里士多德的地心说更接近测量值。在数学方面他编辑了正弦函数表。在地理学方面他定义了经纬度，标记了1千多个城市。他的名著《宏伟》（Almagest，又译为《至大论》）影响了人类历史的进程。
托勒密在他的5卷本《光学》（Optics）中讲述了折射现象。但没有给出计算的方法。
984年，阿拉伯科学家伊本·萨尔（Ibn Sahl，9401000）发现了计算折射公式。他研究烧制玻璃器皿及制作星盘。他指出入射角的正弦与折射角的正弦有一个比例的关系。
1621年荷兰数学家威理博·斯涅尔（Willebrord Snell或称Willebrordus Snellius，1580－1626）完善了折射定律。斯涅尔出生于一个知识分子家庭。他的父亲是莱顿大学（Leiden University）的教授。他在家中是长子。父亲本想让他学法律，但他对数学更加感兴趣。所以他在莱顿大学读的是法律与数学双科。他的父亲是第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546－1601）的好友，两人说好了要易子而教。所以20岁时他到了布拉格，师从第谷学习，期间还认识了第谷的助手约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571－1630）。他回到莱顿后就开始专攻数学。他先是给父亲当助教，父亲退休后就转正当上了教授（图4）。他对天文学、数学、地理学和物理学都有贡献。在天文学方面他推崇第谷的“双中心说”（太阳围着地球转，其他行星围着太阳转）。在数学方面他研究球面几何，还推出了一种方法可以把圆周率算到了小数点后7位数的精度。在地理学方面他计算出地球的周长，与今天测量的实际周长误差仅为1200千米（他的计算为38520 千米；实际周长大约为40000千米）。他最杰出的贡献是光线折射定律。可惜他突然病逝，在生前没能得到发表。直到1690年才在惠更斯（Christiaan Huygens，1629－1695）的著作中发表。
图4，荷兰数学家威理博·斯涅尔
1637年，法国自然哲学家勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596－1650）独立地重新发现了折射定律（笛卡尔的故事我们将另文介绍）。但后人还是把折射定律叫做斯涅尔定律。
如图5所示，光线的折射由光线在介质中的传播速度所确定。当年伊本·萨尔无法测量出光速，所以只能给出一个比率（下面公式的左半边）。斯涅尔定义了材料的折射系数：其中为光速，为光线在介质中的传播速度。光线在空气中的传播的速度就是光速，在水中传播的速度慢些，所以就产生了折射。
图5，折射原理
彩虹
根据反射和折射的原理我们就可以知道彩虹是怎样形成的了。
最早研究彩虹的是弗莱堡的迪奥多里克（Dietrich of Freiberg，1250－1310）。弗莱堡是今天德国与瑞士边境的一个古老城市，现以旅游和高等教育著称。迪奥多里克是一位教会学校的教师。他研究神学、哲学和科学。大约1307年他做了一个实验，他把一个球形的玻璃容器装满水来代表雨滴。当太阳的光线在照到玻璃容器时，先是发生折射，然后在边缘发生反射，从而产生彩虹（图6）。
图6，迪奥多里克手绘的彩虹实验：阳光射入水滴折射出彩色，折射的彩色光束在水滴的边缘产生反射，形成彩虹
今天我们知道彩虹是由穿过水滴的阳光折射和反射形成的（图7）。云是水滴组成的。要看到彩虹，云不能太多（太多会遮住阳光），也不能太少（太少形成的彩虹太暗）。此外，观察者、雨滴和太阳之间的夹角必须在之间。此时，雨滴集合在一起相当于形成了一个圆锥体。太阳光的折射和反射生成彩虹（图7b）。彩虹从其他角度是看不见的，所以当你移动时，彩虹也跟着你移动。你永远无法到达彩虹的尽头。
有时我们还可以看到双彩虹。第二道彩虹是由雨滴内部的双重反射造成的（图7a）。这使得颜色反转。第二道彩虹只有当观察者、雨滴和太阳之间的夹角在之间时才能看见。由于双重反射会使亮度降低，第二道彩虹会比第一道彩虹暗淡些。
据报道2020年6月17日，广州出现过双彩虹（图8）。
图7，彩虹的形成
图8，广州出现双彩虹
撰文：杜如虚（加拿大工程院院士）
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排版&编辑：李宇芊
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