小波是什么？如何直观理解

小波，不严格的说即有限持续时间的波形，其平均值为零。许多我们感兴趣的信号和图像表现出瞬变行为。例如语音信号的特点是辅音短脉冲编码，然后元音稳态振荡；自然图像边缘突变；金融时间序列表现出瞬态行为，经济状况的快速上升和下降。与傅里叶基不同，小波基比较擅长稀疏表示分段规则信号和图像，其中包括众多瞬态行为。将小波与正弦波进行比较，正弦波是傅里叶分析的基础，正弦曲线的持续时间没有限制—负无穷延伸到正无穷。正弦曲线是平滑的，小波往往是不规则和不对称的。

傅里叶分析包括将信号分解成各种频率的正弦波，类似地，小波分析是将信号分解为原始（或母）小波的移位和缩放。通过小波和正弦波的图片，可以直观地看到，使用不规则小波比使用平滑的正弦波能更好地分析急剧变化的信号。使用具有局部范围的小波可以更好地描述信号的局部特征。下面的例子说明了一个简单的信号，它由一个不连续的正弦波组成。

定位正弦波中的不连续性

此示例展示了小波分析可以定位正弦波中的不连续性。设置以100Hz采样的频率为1Hz的正弦波，正弦波的持续时间为一秒，且在 t=0.5 秒处具有不连续性。

t = linspace(0,1,100)';
x = sin(2*pi*t);
x1 = x-0.15;
y = zeros(size(x));
y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);
y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);
stem(t,y,'markerfacecolor',[0 0 1]); 
xlabel('Seconds'); 
ylabel('Amplitude');

使用“sym2”小波进行正弦波的非抽取离散小波变换，并将小波（细节）系数与原始信号一起绘制。

[swa,swd] = swt(y,1,'sym2');
subplot(211)
stem(t,y,'markerfacecolor',[0 0 1]); 
title('Original Signal');
subplot(212)
stem(t,swd,'markerfacecolor',[0 0 1]);
title('Level 1 Wavelet Coefficients');

看一下正弦波的傅立叶系数幅值

dftsig = fft([x y]);
dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);
df = 100/length(y);
freq = 0:df:50;
stem(freq,abs(dftsig));
xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');
legend('sine wave','sine wave with discontinuity');

傅立叶系数值差异很小，因为离散傅里叶基向量在整个时间间隔上都有支撑，所以离散傅里叶变换检测不连续性的效率不如小波变换。比较一下连续性和不连续性正弦波的小波系数

[swax,swdx] = swt(x,1,'sym2');
subplot(211)
stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');
subplot(212)
stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');

两个信号的小波系数表现出显着差异。小波分析通常能够揭示其他分析技术遗漏的信号或图像的特征，例如趋势、故障点、高阶导数的不连续性和自相似性。此外，由于小波提供的数据视角不同于傅立叶技术所呈现的数据视角，因此小波分析通常可以显著地对信号进行压缩或降噪而不会明显退化。