根心定理2：根心定理与两圆内含根轴寻找

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根心定理也称蒙日定理，是指平面内三个两两不同心的圆，两两形成根轴，共三根根轴，有如下关系

1、如果三圆圆心不在一条直线上，则三根根轴相交于一点。如下图。

三根轴相交情况

因为3圆的圆心如果不在一条直线上，则必为某三角形三个顶点。而两圆根轴又与其连心线垂直，所以3圆两两形成的根轴必相交。假设圆A和圆B的根轴与圆B和圆C的根轴相交于P点，根据根轴定义，P点对圆A和圆B等幂，同时P点对圆B和圆C也等幂，所以P点对圆A和圆C同样等幂，所以圆A和圆C的根轴也过P点，于是3根轴相交于一点。

2、如果三圆圆心在一条直线上，则三根根轴相互平行或重合。

第一种情况，如下图，3圆相交且圆心共线，3根轴互相平行。相切和相离及内含只要圆心共线，情况一样，不再一一作图示意。

3根轴平行情况

第二种情况，如下图，3圆相交且共弦，则3根轴重合，根轴即为所共之弦所在直线。

3根轴重合情况

另一种情形是3圆相切只有一个切点时，如下图。或者3圆大圆套小圆相切只有一个切点，情况也一样。

3根轴重合情况

上一篇文章说过，相交、相切、相离两圆的根轴都比较容易作出，但相含两圆根轴不易寻找。下面介绍利用根心定理寻找内含两圆的根轴。

内含两圆根轴作图

如上图，要作两蓝色圆根轴，直接作比较困难，可以利用根心定理来作。具体步骤是：第一步，先作黄色圆与两圆相交，注意圆心不要在一条线上，这样黄色圆与两个蓝色圆的根轴会交于一点，同样这点也是两个蓝色圆根轴上的点。

第二步，同理作粉色圆，粉色圆与两个蓝色圆的根轴也会交于一点，同理这点也是两个蓝色圆根轴上的点。

第三步，过上述两点作直线(红色)，即为所求两圆根轴。