论函数的图像与性质

想要玩转高中函数知识，就得熟练掌握函数的图像与性质。这里的函数包括具体的基本初等函数以及抽象函数。小朋友们要能够在函数解析式、图像、性质之间自由切换。

一：函数图像的变换

除了熟练掌握好基本初等函数的图像外，同学们也得学会应对各种图像变换。这样，才能画好函数的图像。

1：平移变换

（1）水平平移：函数y = f（x + a）的图像可以把函数y = f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数 y = f（x）+ a 的图像可以把函数 y = f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。

2：对称变换

（1）函数 y = f（-x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到；

（2）函数 y = – f（x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于x轴对称即可得到；

（3）函数 y = – f（-x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于原点对称即可得到；

3：翻折变换

（1）函数 y =｜f（x）｜ 的图像可以将函数 y = f（x）的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉x轴下方部分，并保留 y = f（x）的x轴上方部分即可得到；

（2）函数 y = f（｜x｜） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y = f（x）在y轴右边部分即可得到。

4：伸缩变换

（1）函数 y = a f（x）（a＞0）的图像可以将函数 y = f（x）的图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长（a＞1）或压缩（0＜a＜1）为原来的a倍得到；

（2）函数 y = f（ax） （a＞0）的图像可以将函数 y = f（x）的图像中的每一点纵坐标不变，横坐标压缩（a＞1）或伸长（0＜a＜1）为原来的1/a倍得到；

下面以画函数 y = ln|2-x|的图像为例，来说明这一过程，

第一步：先画出函数 y = lnx的图像

第二步：进行翻折变换，得到函数 y = ln|x|的图像

第三步：进行对称变换，得到函数 y = ln|-x|的图像

第四步：进行平移变换，得到函数 y = ln|2-x|的图像

二：性质的变换

我们知道奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，在这个意义上，奇偶性可看作对称性的一种特殊情况。另外，通过与周期性的结合，会呈现出更多的对称性（包括对称轴和对称中心）。下面分析以下几种常见的类型。

1：双对称

如果f(x)的图像有两种对称方式，则一定是周期函数。我们有如下结论：

（1）若f(x)关于x=a对称，且关于x=b（a≠b）也对称，则f(x)是周期函数，周期为2|a–b|；

（2）若f(x)关于点（a，0）对称，且关于点（b，0）（a≠b）也对称，则f(x)为周期函数，周期为2|a–b|；

（3）若f(x)关于点（a，0）对称，且关于直线x=b（a≠b）对称，则f(x)为周期函数，周期为4|a–b|。

另外，对称性本身有如下结论，要牢记：

（1）若f(x)关于直线x=a对称，则有f(x)=f(2a–x)或f(x+a)=f(a–x)成立；

（2）若f(x)关于点（a，0）对称，则有f(x)=-f(2a-x)或f(x+a)=-f(a–x)成立。

2：奇、偶函数的另一个对称轴（或对称中心）

如果定义在R上的函数是奇函数或偶函数，且有另一个对称轴或对称中心，则此类双对称函数一定是周期函数，且有如下规律：

3：平移对称

(1) 若f(x+a)为偶函数，则f(x)的图像关于直线x=a对称；

(2) 若f(x+a)为奇函数，则f(x)的图像关于点（a，0）对称。

以上性质间的切换不可死记硬背，一定要掌握具体的推导方法。

以下是函数的图像与性质中涉及到的一些经典题目，敬请鉴赏。