函数的奇偶性概念讲解

1. 概念抽象

奇偶性是函数的“整体性质”。 与单调性一样，奇偶性也是把图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．偶函数的图象是轴对称图形，而且对称轴是固定的——y轴，偶函数的判断规则就是利用f（－x）＝f（x）表达“图象是轴对称图形，对称轴是y轴”；

类似地，奇函数的判断规则就是利用f（－x）＝－f（x）表达“图象是中心对称图形，对称中心是原点”．

通过具体例子的计算、观察取值规律，发现“当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等”，用符号抽象表示就是“函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x）”，由此就可以概括出偶函数的判断规则．类比偶函数的本质，你能概括出奇函数的本质和符号表示吗？

2.奇偶性的判定

判断一个函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，再看f（x）与f(-x)是否相等或互为相反数，根据定义判断函数的奇偶性。如果定义域不是对称的，这样的函数一定是非奇非偶的。

通过对于函数奇偶性的研究，从中引申出三个结论：

结论一：如果一个奇函数，在x=0处有定义，则一定有f(0)=0．

因为在x=0处，要关于(0,0)对称，又不可能同一个x对应两个y，所以只能是f(0)=0．

也可以根据f(-x)=-f(x)，有f(-0)=-f(0)f(0)=0．

当然，奇函数可能在x=0处无定义，如，此时不用考虑x=0的情况。只要有定义，一定有f(0)=0．对于偶函数有这样的结论吗？思考一下！

结论二：既奇又偶的函数有无穷多个，这些函数的值域都为{0}．

请别忘记，定义域不同的函数就是不同的函数．如f(x)=0，x∈R；f(x)=0，x∈（-1,1）；f(x)=0，x∈[-1,1]．图象为一个点它也是既奇又偶的函数．

结论三：已知，系数a,b,c,d,e,f∈R为常数．

⑴若f(x)是奇函数，则系数满足b=d=f=0；

⑵若f(x)是偶函数，则系数满足a=c=e=0．

对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有偶次项．

函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证，奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，奇函数与偶函数的积，考虑奇函数的个数，有奇数个奇函数则为奇函数，有偶数个奇函数则为偶函数．

3.复合函数的奇偶性

复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定，要判断函数是奇还是偶，把x取-x，看结果前是否有负号．

对于复合函数F（x）=f（g（x））来讲：

（1）如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x)，

f(x)是奇函数时，则f(g（-x）)= f(-g（x）)=-f（g(x)），

则当F(-x)=f（g(-x)）=-f（g(x)）=-F(x)，所以F(x)是奇函数；

（2）如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x)，

f(x)是偶函数时，则f(g（-x）) = f(g（x）)，

则当F(-x)=f（g(-x)）=f（g(x)）=F(x)，所以F(x)是偶函数；

（3）如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x)，无论f（x）的奇偶性如何， f(g（-x）)= f(g（x）)都成立，

则当F(-x)=f（g(-x)）=f（g(x)）=F(x)，所以F(x)是偶函数；

通过上面的列举归纳，概括出复合函数的奇偶性规律：“一偶则偶，全奇即奇”。此结论可以推广到多层复合函数，只要复合函数中有一层函数是偶函数，则复合函数就是偶函数，只有复合的函数每一层都是奇函数时，则复合的函数才是奇函数。