m 个样本的梯度下降(Gradient Descent on m Examples)

在之前的笔记中,已经讲述了如何计算导数，以及应用梯度下降在逻辑回归的一个训练样本上。现在我们想要把它应用在m个训练样本上。

首先，让我们时刻记住有关于损失函数就J(w,b) 的定义。

当你的算法输出关于样本y 的 a(i)， a(i)是训练样本的预测值，即：

所以我们在前面展示的是对于任意单个训练样本，如何计算微分当你只有一个训练样本。

因此dw_1，dw_2和db 添上上标i表示你求得的相应的值。

如果你面对的是我们在之前演示的那种情况，但只使用了一个训练样本(x^(i),y^(i)) 。

现在你知道带有求和的全局代价函数，实际上是1到m项各个损失的平均。

所以它表明全局代价函数对w1的微分，w1的微分也同样是各项损失对w1微分的平均。

但之前我们已经演示了如何计算这项，即之前幻灯中演示的如何对单个训练样本进行计算。

所以你真正需要做的是计算这些微分，如我们在之前的训练样本上做的。并且求平均，这会给你全局梯度值，你能够把它直接应用到梯度下降算法中。

所以这里有很多细节，但让我们把这些装进一个具体的算法。同时你需要一起应用的就是逻辑回归和梯度下降。

我们初始化 J=0,dw_1=0,dw_2=0,db=0

代码流程：

 J=0;dw1=0;dw2=0;db=0; for i = 1 to m z(i) = wx(i)+b a(i) = sigmoid(z(i)) J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i)）log(1-a(i)) dz(i) = a(i)-y(i) dw1 += x1(i)dz(i) dw2 += x2(i)dz(i) db += dz(i) J/= m dw1/= m dw2/= m db/= m w=w-alpha*dw b=b-alpha*db 

笔记上只应用了一步梯度下降。因此你需要重复以上内容很多次，以应用多次梯度下降。看起来这些细节似乎很复杂，但目前不要担心太多。

但这种计算中有两个缺点，也就是说应用此方法在逻辑回归上你需要编写两个for循环。

第一个for循环是一个小循环遍历m个训练样本，

第二个for循环是一个遍历所有特征的for循环。

这个例子中我们只有2个特征，所以n等于2并且n_x 等于2。 但如果你有更多特征，你开始编写你的因此dw_1，dw_2，你有相似的计算从dw_3一直下去到dw_n。所以看来你需要一个for循环遍历所有n个特征

当你应用深度学习算法，你会发现在代码中显式地使用for循环使你的算法很低效，同时在深度学习领域会有越来越大的数据集。所以能够应用你的算法且没有显式的for循环会是重要的，并且会帮助你适用于更大的数据集。所以这里有一些叫做向量化技术,它可以允许你的代码摆脱这些显式的for循环。

我想在先于深度学习的时代，也就是深度学习兴起之前，向量化是很棒的。

可以使你有时候加速你的运算，但有时候也未必能够。

但是在深度学习时代向量化，摆脱for循环已经变得相当重要。

因为我们越来越多地训练非常大的数据集，因此你真的需要你的代码变得非常高效。

所以在接下来的几个笔记中，我们会谈到向量化，以及如何应用向量化而连一个for循环都不使用。

所以学习了这些，我希望你有关于如何应用逻辑回归，或是用于逻辑回归的梯度下降，事情会变得更加清晰。

向量化(Vectorization)

向量化是非常基础的去除代码中for循环的艺术，在深度学习安全领域、深度学习实践中，你会经常发现自己训练大数据集，因为深度学习算法处理大数据集效果很棒，所以你的代码运行速度非常重要，否则如果在大数据集上，你的代码可能花费很长时间去运行，你将要等待非常长的时间去得到结果。所以在深度学习领域，运行向量化是一个关键的技巧，让我们举个栗子说明什么是向量化。

在逻辑回归中你需要去计算z=w^T x+b，w、x都是列向量。如果你有很多的特征那么就会有一个非常大的向量，所以w∈R^(n_x ) , x∈R^(n_x )，所以如果你想使用非向量化方法去计算w^T x，你需要用如下方式（python）

z=0 for i in range(n_x) z+=w[i]*x[i] z+=b 

这是一个非向量化的实现，你会发现这真的很慢，作为一个对比，向量化实现将会非常直接计算w^T x，代码如下（其中使用了numpy函数，这个有点重要，需要记得哦！）：

z=np.dot(w,x)+b 

这是向量化计算w^T x的方法，你将会发现这个非常快

让我们用一个小例子说明一下（以下为在Jupyter notebook上写的Python代码）：

import numpy as np #导入numpy库 a = np.array([1,2,3,4]) #创建一个数据a print(a) # [1 2 3 4] import time #导入时间库 a = np.random.rand() b = np.random.rand() #通过round随机得到两个一百万维度的数组 tic = time.time() #现在测量一下当前时间 #向量化的版本 c = np.dot(a,b) toc = time.time() print(“Vectorized version:” + str(1000*(toc-tic)) +ms”) #打印一下向量化的版本的时间 #继续增加非向量化的版本 c = 0 tic = time.time() for i in range(): c += a[i]*b[i] toc = time.time() print(c) print(“For loop:” + str(1000*(toc-tic)) + “ms”)#打印for循环的版本的时间 

返回值见图。

在两个方法中，向量化和非向量化计算了相同的值，如你所见，

向量化版本花费了1.5毫秒，非向量化版本的for循环花费了大约几乎500毫秒，非向量化版本多花费了300倍时间。

所以在这个例子中，仅仅是向量化你的代码，就会运行300倍快。这意味着如果向量化方法需要花费一分钟去运行的数据，for循环将会花费5个小时去运行。

一句话总结，以上都是再说和for循环相比，向量化可以快速得到结果。

你可能听过很多类似如下的话，“大规模的深度学习使用了GPU或者图像处理单元实现”，但是以上做的案例都是在jupyter notebook上面实现，这里只有CPU，CPU和GPU都有并行化的指令，他们有时候会叫做SIMD指令，这个代表了一个单独指令多维数据，这个的基础意义是，如果你使用了built-in函数,像np.function或者并不要求你实现循环的函数，它可以让python的充分利用并行化计算，这是事实在GPU和CPU上面计算，GPU更加擅长SIMD计算，但是CPU事实上也不是太差，可能没有GPU那么擅长吧。

接下来的笔记中，你将看到向量化怎么能够加速你的代码，经验法则是，无论什么时候，避免使用明确的for循环。