排列组合专题

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【错位排列】

排列好的n个元素，经过一次再排列后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n个元素的一个错位排列；

公式1：

公式2：

错位题型最直接的就是记住公式：一个元素错位重排的时候情况为0（因为只有一个，不可能排错），两个元素错位重排情况为1，三个为2，四个为9，五个为44，…………。从0,1,2,9,44可以看出后面的数为前面两数和的倍数，那我们后面的情况也就不难推导出来。

【例1】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法？（ ）

A.6种 B.9种 C.12种 D.15种

【答案】显然是一个错排问题，4个人的错排：D4=9 ,选B

【例2】五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有多少种？ （ ）

A.60种 B.46 种 C.40种 D.20种

【答案】本题也是一个错排问题，但是需要先分步计数，第一步：可以先5选3组瓶子和标签，有10种选法，第二步：再算出3个瓶子贴错标签的情况D3=2，所以总的情况数为：N=10×2=20种.选D.

练习1：要把A、B、C、D四包不同的商品放到货架上，但是，A不能放在第一层，B不能放在第二层，C不能放在第三层，D不能放在第四层，那么，不同的放法共有（ ）种。

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】各自不能放到想放的位置，典型的错排问题，选D

练习2：(2021·湖南师范大学附属中学月考)若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同)，现将这五张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各拿一张，恰有1人拿到自己写的卡片的方法有(　　)

A．20种 B．90种 C.15种 D．45种

【答案】先分步计数，里面涉及到一个错排问题.第一步，先5组中有4组错排列，有5种情况.第二步：4个的错排列有9种情况.∴N=45.选D

【依次插空（定序问题）】

如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变，则可以考虑将这m个元素排好位置，再将n-m个元素一个个插入到队伍当中，此时只有一种情况（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空位为n+1）（注意：这种类型通常是一个一个依次插空）

【例1】在一张节目单中原来有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法有多少种？

答案：法1：可以先将这六个节目按照开始要求的顺序排好，一共有1种排法,其他的三个节目再依次插孔就可以了.∴N=1×7×8×9=504

注意：有几组定序，就除以几个全排

练习：元宵节灯展后，如图挂着的有9个不同的灯笼需要取下，每次取1盏，共有多少种不同的取法（ ）

A.1680 B. 1640 C.36 D.72

答案：这种问题感觉摸不着头脑，其实也是定序问题，因为每组的三个灯笼在取下的时候都是顺序固定的.因此直接用定序公式：A99/A33.A33.A33=1680种

【相同元素分组（隔板法)】

（注意：所有隔板法都可以用换元法求解，转换为至少分得一个的方法。 隔板法的本质：x+y+z…=n,n∈Z+的正整数解的个数）

【例1】(1)把16个相同的球放到三个不同盒子中，要求每个盒子都有球，则不同的放球方法是多少？

答案：16个相同球，分到3个不同盒子，只用在16个球之间切三刀即可，每一种切法对应一种分法.

一共有：C15-2=105种.

(2) 把16相同的个球放在编号为1,2,3的三个盒子中，要求1号盒子至少1球，2号盒子至少2球，3号盒子至少3球，则不同的放球方法是多少？

分析：隔板法两个标志性信息：1.相同元素分配 2.每个盒子至少放1个元素.但是本题每个盒子里面放的元素不是至少1个.

因此这种类型要用提前放球法：2号盒子提前放1个，3号盒子提前放2个。这样就能满足每个盒子至少再放一个球即可。由于2，3号盒子已经放了球了，因此只需要把剩下的13个球放到3个盒子就行，因此只用切两刀，即：C12-2=66种

(3)把16个相同的球放在三个不同盒子中，盒子可以空着不放球，则不同的放球方法是多少？

分析：隔板法两个标志性信息：1.相同元素分配 2.每个盒子至少放1个元素.但是本题每个盒子里面放的元素不是至少1个.

由于这种类型部分盒子可以空着，因此不能让他们放空，这种类型需要用到借球法：先借3个球，放到3个盒子里面，这样满足每个盒子至少1个球，由于是借的球，因此总的球个数为19个，所以将19个球分到3个盒子，也只需要切2刀，即：C18-2=153

练习：学校有10个推优名额分给1,2,3班，那么每个班级获得的推优名额数不小于班号的分法有几种？

该题目自行完成：一共有126种

【不同元素分组】

将n个不同元素放入m个不同的盒中；

不同元素的分组问题分为以下几类：

①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；

【例1】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?

（1）平均分成三堆； ……………..均匀分组问题

（2）平均分给甲、乙、丙3人； …………….均匀分组分配问题

（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本； …………….非均匀分组问题

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本； ……………非均匀分组定向分配

（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本； …………. 非均匀分组不定向分配

该类型遵循先分组，再分配的原则，先将分组情况数找到，再将分配的情况数找到，最后乘起来即可.

排列组合总总结：排列组合的主要还是以分类计数和分步计数为基本思想，然后以排列组合方式为手段的一种计数问题。在应用过程中，要将不同的题目类型进行分类，不同的类型对应不同的方法，既可以解决问题.