二次函数在闭区间上的最值一一记住这几点再也不用愁了

二次函数在闭区间上的最值一一记住这几点再也不用愁了二次函数在闭区间上的最值是高中数学中出现最多的题型,好多问题通过转化最后归结为求二次函数在闭区间上的最值。二次函数在闭区间上的最值,与抛物线的开口方向和对称轴在区间上的位置有关。

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二次函数在闭区间上的最值是高中数学中出现最多的题型,好多问题通过转化最后归结为求二次函数在闭区间上的最值。

二次函数在闭区间上的最值,与抛物线的开口方向和对称轴在区间上的位置有关。以开口向上的抛物线为例,给定区间[m,n],对称轴可能在区间上,也可能位于区间的左右两侧,分三种情况讨论:

二次函数在闭区间上的最值一一记住这几点再也不用愁了

一、最小值的求法

(1)区间[m,n]在对称轴的左侧,如图1,函数f(X)在区间[m,n]上单调递减,最小值为f(n);

(2)区间[m,n]在对称轴的右侧,如图2,函数f(X)在区间[m,n]上单调递增,最小值为f(m);

(3)对称轴在区间[m,n]内,如图3,函数f(X)在区间[m,n]内先减后增,最小值在顶点处取得。

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二、最大值的求法

因为抛物线开口向上,最大值只可能在端点处取得。若对称轴X>(m+n)/2,则最大值为f(m);若对称轴X<(m+n)/2,则最大值为f(n)。若对称轴X=(m+n)/2,则最大值=f(m)=f(n)。实际操作时作差f(m)一f(n)比较大小。

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若抛物线开口向下,类比得出。

例1.求二次函数f(X)=X²一2Ⅹ+2,X∈[t,t+1]的最小值。

[思路探寻]对称轴确定,区间在移动,可移动到对称轴的左边、右边、包含对称轴,依单调性求出最小值。

[解析]当t+1≤1即t≤O时,函数在区间[t,t+1]上单调递减,最小值m=f(t+1)=t²+1;

当t≥1时,函数在区间[t,t+1]上单调递增,最小值

m=f(t)=t²一2t+2;

当t<1<t+1即0<t<1时,函数在区间[t,t+1]上先减后增,最小值m=f(1)=1。|

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[迁移]例1条件不变,改为求最大值。

[略解]f(t)一f(t+1)=t²一2t+2一[(t+1)²一2(t+1)+2=一2t+1

当一2t+1≥0即t≤1/2时,f(t)>f(t+1),最大值M=f(t)=t²一2t+2;

当一2t+1<O即t>1/2时,f(t)<f(t+1),最大值M=f(t+1)=t²+1。

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例2、求二次函数f(Ⅹ)=X²一2aX一1(X∈[0,2])的最大值。

[思路探寻]抛物线开口向上,最大值只可能在端点处得到。

[解析]f(2)一f(0)=4(1一a),

当a<1时,f(2)>f(0),

最大值M=f(2)=3一4a;

当a≥1时,f(2)<f(0),

最大值M=f(0)=一1。

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例3函数f(×)=X²+2X+3,X∈[m,O](m<O)的最大值为3,最小值为2,求m的取值范围。

[思路探寻]抛物线开口向上,对称轴X=一1,f(0)=f(一2)=2,

f(一1)=3,作图观察易知一2≤m≤一1。

(解略)

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例4.设a>0,函数f(X)=一X²一aX+b+1(X∈[一1,1])的最大值为0,最小值为一4,求a,b的值。

[思路探寻]抛物线开口向下,对称轴X=一a/2<O<1,所以对称轴可能在区间上,也可能在区间的左边,要比较一a/2与一1的大小。分两类讨论。

[解析]当a≥2时一a/2≤一1,对称轴在区间左边,函数f(X)在区间[一1,1]上单调递减,得f(一1)=0且f(1)=一4,求得a=2,b=一2;

当O<a<2时,一1<一a/2<0,最大值在顶点取得,由于1离对称轴更远,所以最小值为f(1),即f(1)=一4且f(一a/2)=0,此方程组无解。

综上所述a=2,b=一2。

例5.已知二次函数f(X)=一1/2X²+X,定义域为[m,n],值域为[2m,2n],求m,n的值。

[思路探寻]定义域和值域都未知,按常理要讨论对称轴x=1与区间[m,n]的位置关系,两个字母,想想都难。需另辟蹊径。注意到f(X)=一1/2(X一1)²+1/2≤1/2,由值域得2n≤1/2,n≤1/4,又对称轴为X=1,而n<1,∴定义域[m,n]在对称轴左边,因抛物线开口向下,故函数f(X)在区间[m,n]上单调递增,

∴f(m)=2m且f(n)=2n,

故m,n是方程一1/2X²+X=2X的两个实根,解得m=一2,n=0。最后求m,n的值又联想到一元二次方程的两个根,从而简化运算。

[解析]f(x)=一1/2X²+X=一1/2(X一1)²+1/2≤1/2,由值域得2n≤1/2,n≤1/4,又定义域为[m,n]

∴区间[m,n]在对称轴左侧,函数f(x)在区间[m,n]上单调递增,

∴f(m)=2m且f(n)=2n

∴m,n是方程一1/2X²+X=2X的两个实数根,又m<n,

∴m=一2,n=0

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