持续学习：数学分析之定积分应用与反常积分

定积分应用广泛，涉及几何学，物理学，生态学，经济学等众多领域。那么我们什么时候该考虑用定积分来表达问题和解决问题呢？

如果实际问题的要求量U具有以下三特征：那么就可以考虑使用定积分来表达

1. U是与变量x的变化区间[a,b]相关的量
2. U对于[a,b]具有可加性，即U = ΣΔU
3. ΔU可以近似表示为f(x)Δx的形式

通常写出这个U量的积分表达式有两种格式：

• 一是定义法：严格执行，分割，近似代替，求和取极限 的三步骤
• 二是微元法：设U分布在[a,x]上，且当x=b时，U(b)是所求最终值，如果在任意小的区间[x,x+Δx] ，U的增量ΔU可以表示为ΔU=f(x)Δx+o(Δx)，其中f(x)是[a,b]上的连续函数，则U(b)=∫f(x)dx |a->b

定积分应用

应用一：求平面图形的面积:包括直角坐标系，参数方程，极坐标系三种情况

应用二：求体积：包括知到平行截面面积求体积，旋转体体积

应用三：求平面曲线弧长：有定理，设曲线C的参数方程 x=x(t) ,y=y(t) t∈[a,b] ,且C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长L=∫√(x`^2(t)+y`^2(t)) dt |a->b

应用四：求旋转曲面的面积：有定理，设曲线C是x=x(t) ,y=y(t)≥0 t∈[0,L]，且为光滑曲线，则C 绕x轴旋转一周所得曲面的面积为 S= 2π∫y(t)dt |0->L

应用五：变力做功：压力，力矩与重心，涉及一定的大学物理知识，在此不多展开

​反常积分的概念和基本性质：

• 设f(x）在[a，+∞]上有定义，且任一[a，u]上可积，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a->u ,u->+∞ ,则称J是f(x)在[a，+∞]上的无穷反常积分，记作 J=∫f(x)dx |a->+∞，并称∫f(x)dx |a->+∞ 收敛，如果极限不存在，则称反常积分发散。
• 设f(x）在[a，b)上有定义，且任一[a，u]⊆[a，b)上可积，f在点b的任一左半去心邻域内无界，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a->u ,u->b- ,则称J是无界函数f(x)在[a，b)上的无穷反常积分，也称瑕积分，b是瑕点，记作 J=∫f(x)dx |a->b，并称∫f(x)dx |a->b 收敛，如果极限不存在，则称瑕积分发散。
• 反常积分的基本性质：和定积分类似，具有线性性，积分换元法和分部积分法

反常积分的收敛性：

• 柯西收敛准则：若f在任一[a,u]⊆[a，w）上可积，∫f(x)dx |a->w 是反常积分，则∫f(x)dx |a->w 收敛 <==>对任意ε>0，存在B∈[a，w），使对一切u1,u2∈[B,w]有|∫f(x)dx |u1->u2 |<ε
• 如果∫|f(x)| dx |a->w，则称反常积分是绝对收敛，如果积分收敛，但非绝对收敛，称∫f(x)dx |a->w为条件收敛
• 定理：绝对收敛的反常积分必收敛
• 反常积分的比较判别法：
• 1）满足条件下，∫f(x)dx |a->w收敛 <==>F(u)=∫f(x)dx |a->w在[a，w）有上界。
• 2）比较判别法：若f，g在任一[a,u]⊆[a，w）上可积，∫f(x)dx |a->w ，∫g(x)dx |a->w，为反常积分，若在[a，w）上有0≤f(x)≤g(x）,则 当∫g(x)dx |a->w 收敛，∫f(x)dx |a->w 收敛；当∫f(x)dx |a->w 发散，∫g(x)dx |a->w 发散
• 3）比较判别法的极限形式：若f，g在任一[a,u]⊆[a，w）上非负可积，∫f(x)dx |a->w ，∫g(x)dx |a->w，为反常积分，若lim f(x)/g(x) = c x->w-，则当 0<c<+∞ 时，∫f(x)dx |a->w ，∫g(x)dx |a->w 同敛态；当c=0时，由
• ∫g(x)dx |a->w 收敛 推得∫f(x)dx |a->w 收敛；c=+∞时，∫g(x)dx |a->w 发散，∫f(x)dx |a->w发散。
• 柯西判别法，有三种形式
• Dirichlet判别法：若f，g在任一[a,u]⊆[a，w）上可积，∫f(x)g(x)dx |a->w 是反常积分，若F(u)=∫f(x)dx |a->u，在[a,w)上有界；g(x)在 [a,w)上单调且lim g(x)=0 x->w- 则反常积分∫f(x)g(x)dx |a->w收敛
• Abel判别法：若f，g在任一[a,u]⊆[a，w）上可积，∫f(x)g(x)dx |a->w 是反常积分，若∫f(x)dx |a->w 收敛，g(x)在[a,w)上单调有界，则∫f(x)g(x)dx |a->w 收敛。