数学中空间概念的推广——微分流形

微分流形是现代数学中一个非常重要的概念，简单来说，它是欧式空间的推广，是一种更为抽象和一般的“空间”。经过一百多年的发展，它已经被广泛应用于数学和物理中，借助对微分流形的研究，我们对“空间”有了更为深入的了解和刻画。

学过拓扑的同学应该都知道拓扑流形这个概念，拓扑流形指的就是“局部”同胚于欧式空间的拓扑空间，一般情况下为了适应需要，往往还要求这个拓扑空间满足分离性质(也就是豪斯多夫公理)和具有可数拓扑基。这里还需要解释一下“局部”是个什么意思，这指的就是对任意一个点，存在它的一个邻域，这个邻域和欧式空间同胚。这里我们所考虑的拓扑流形是无边的，对于一些有边流形来说，我们就无法要求它们的边界点有邻域同胚于欧式空间，所以在这种情况下，同胚的对象会以欧式空间的上半空间来代替整个欧式空间。

定义了拓扑流形之后，我们会发现，这个概念实在是太宽泛了，基本绝大部分常见的空间都是拓扑流形，例如欧式空间，球面，环面，双曲面等等。尽管拓扑流形局部同胚于欧式空间，但我们还没有去关心这个同胚映射到底是怎么样的。

从历史来看，黎曼大概是第一个使用“流形(Manifold)”一词的数学家，这来自于他在哥廷根大学著名的就职报告《论作为几何学基础的假设》。黎曼的本意是将高斯在三维欧式空间中内蕴几何思想推广到任意的n维空间，但他最终给出的答案远远超过了当初的预期，于是黎曼几何便自此诞生。从今天的观点来看，黎曼关于流形的定义是不够完善和精确的，但黎曼对“空间”的理解的确超越了时代，直接改变了几何学的面貌。

纯粹的拓扑空间实际上还是非常松散的，因为我们只有最一般的抽象概念，例如开集，连续函数，同胚等等概念，如果我们想在空间上做更多的事，就必须对空间进行更精确的描述，所以我们还要在空间，或者说流形上附加一些结构。而对拓扑流形赋予“微分结构”后，它就成为了一个“微分流形”。粗略来说，微分结构要求拓扑流形中的同胚是光滑的(也可以降低光滑性要求，例如可以只是连续或一次可微)。最重要的，这些光滑映射要“相容”，也就是说，如果两个领域相交，那么其上各自的光滑映射必须是互相光滑依赖的。

可能很多人会问，为什么微分流形定义里的要求都是“局部”的？如果我们的定义是整体的，那么微分流形就会同胚于欧式空间，但同胚是一个非常强的拓扑限制条件，仅仅同胚于欧式空间的流形显然没有太大的研究价值，而且我们也会丢失一大类其他空间，甚至我们连球面这样典型的空间也不能纳入微分流形的范围，所以我们必须要从“局部”定义。

微分流形的定义看起来很平凡，没什么特别的，但实际上这是总结了很多因素后才给出的抽象定义，在这样的定义下，很多意想不到的数学对象也拥有了几何结构，典型的例如全体可逆n维矩阵，m维向量空间的全体n维线性子空间等等，还有我们熟悉的莫比乌斯带，克莱因瓶等，这些都是微分流形。但实际上，要给出微分流形的微分结构，很多时候并不是一件容易的事，因为微分结构往往不是唯一的。即使是再简单不过的欧式空间，它的微分结构曾经也是一大难题。

特别当米尔诺(著名拓扑学家，菲尔兹奖，沃尔夫数学奖，阿贝尔奖等数学三大奖得主)发现了七维球面上存在不等价(也即不同的微分结构定义的微分流形之间不微分同胚)的微分结构后，微分结构的复杂性才充分显示出来。后来的研究表明，三维及以下的微分流形微分结构是唯一(微分同胚意义下)的，而对于欧式空间，除了四维外，微分结构都是唯一存在的，而四维欧式空间上的微分结构甚至有无数种！从这种观点来看，四维空间有它特殊的地方，但到底它有什么奥秘，还需进行更深入的研究，这或许不是完全靠数学能解决的问题。

有了微分结构之后，一个明显的好处是我们在欧式空间中可以赋予微分流形一个“坐标”，这个坐标就是通过微分同胚得到的，而有了坐标之后，我们能做的事就非常多了，就像之前在欧式空间中那样。但对于微分流形这样更一般的空间来说，很多传统的数学概念是不能直接定义的，例如切向量，方向导数，梯度等，这是因为我们在考虑微分流形时，已经失去了欧式空间中那样的几何直观。而且还有一个要紧的问题没有解决，那就是微分流形上还只有拓扑结构，没有度量结构。

微分流形上的度量也是黎曼首先提出的，在里奇(Ricci)等数学家引进张量后，黎曼度量才有了严格的数学描述，它被定义为流形上的二阶共变对称正定张量场，拥有了度量之后，微分流形才真正成为了几何的研究对象，这也就形成了如今的“黎曼几何”，它的研究对象就是赋予了黎曼度量的黎曼流形。实际上，微分流形上不仅仅可以赋予度量结枸，根据需要，也可以赋予其他结枸，例如如果我们赋予一个非退化的闭二次微分形式，那么这个流形就成为了“辛流形”，研究它的几何就是辛几何。实际上，辛流形是经典力学和分析力学的抽象表述中的流形上的余切丛，或者说是力学系统的相空间。

微分流形作为空间概念的推广，被赋予了丰富的内涵，它不仅是数学的研究对象，在其他学科，尤其是物理中，微分流形也得到了极大的应用，典型的如爱因斯坦的相对论，其数学基础就是黎曼几何。如今，各种各样的流形广泛出现于不同的学科之中，例如服务于复几何的复流形，加上了群结构的李群等等，所以可以毫无疑问地说，微分流形已经成为现代数学的基本语言。