图形的量化—度量几何：图形的运动之刚体运动三种变换

刚体运动 考虑二维空间的直角坐标系，如果用向量X和Y分别表示两个点，用d（X,Y）表示两点之间的距离，则d²（X,Y）=(x₁-y₁)²+(x₂-y₂)²。如果利用（3）中的第三个等式，我们可以得到：

这与d²（X,Y）是一致的，因此，我们也可以用（4）式定义两点间的距离。

下面我们构建参照系，并借助参照系讨论一个运动是刚体运动的充分必要条件。首先，设定一条始点为O的射线为参照系，这是可以分为两种情况。第一种情况，定义满足下面条件的运动：

物体上的每一点沿射线方向移动相同距离。 （5）

这是中小学教材中所说的平移，我们称其为平移变换。现在考察平移变换是否为刚体运动，以射线的始点O为原点，射线方向为横坐标正方向建立直角坐标系，如图（1）所示：

图（1） 平移变换

用h表示物体运动后点移动的距离，令物体上两个点分别为X（x₁,y₁）和Y（y₁,y₂），运动后对应的点分别为Z（z₁,z₂）和E（e₁,e₂）。为了确认平移变换是刚体运动，我们需要证明d(X,Y)=d(Z,E)。由（5）我们知道，平移变换以后点的坐标之间有下面的关系：

z₁=x₁+h,z₂=x₂;e₁=y₁+h,e₂=y₂ （6）

用H表示第一个元素为h，第二个元素为0的二维向量，则（6）式也可以写为

Z=X+H, E=Y+H

因为E-Z=Y-X,由（4）式得到d（X,Y）=d(Z,E)。因此，平移变换式刚体运动。

现在考虑第二种情况，假定物体上的一点X经过运动后位移到点Z，定义运动满足下面的条件：

运动后，物体上的每一点到射线始点O的距离不变，即由d(O,X)=d(O,Z)；同时，OZ与射线的夹角比OX与射线的夹角增加一个给定角度。 （7）

这是中小学数学教材中所说的旋转，我们称其为旋转变换。现在考察旋转变换是否为刚体运动，仍然如第一种情况那样设立直角坐标系，令物体上两个点分别为X（x₁,x₂）和Y（y₁,y₂），运动后对应的点分别为Z（z₁,z₂）和E（e₁,e₂），如图（2）

图（2） 旋转变换

令给定的角度为φ ，现在仍然需要证明d(X,Y)=d(Z,E)。我们用极坐标表示直角坐标，如x=ρ·cosθ,y=ρ·sinθ。由定义（7）的要求，容易验证坐标之间满足下面的关系：

x₁=ρ₁·cosθ₁, x₂=ρ₁·sinθ₁

y₁=ρ₂·cosθ₂, y₂=ρ₂·sinθ₂

z₁=ρ₁·cos(θ₁+φ), z₂=ρ₁·sin(θ₁+φ)

e₁=ρ₂·cos(θ₂+φ), z₂=ρ₂·sin(θ₂+φ) (8)

下面利用矩阵来计算两点之间的距离，在这个计算过程中我们将会看到矩阵是一种非常方便的运算工具。回忆三角函数公式

sin(θ+φ)=sinφcosθ+sinθcosφ

cos(θ+φ)=cosφcosθ-sinφsinθ

根据（3）式中矩阵与向量的乘法法则，我们可以得到Z=AX和E=AY，其中

容通过计算得到A’A=I，即A是一个正交矩阵。下面，我们用（4）式来计算两点间的距离，可以得到

d²(Z,E)=(Z-E)’（Z-E）

=(AX-AY)’(AX-AY)

=(X-Y)’A’A(X-Y)

=d²(X,Y) （9）

其中第三个等式利用了《图形的量化—度量几何：图形的运动之矩阵运算》中（3）式中最后一个公式，第四个等式利用了正交矩阵的性质。因为上面的结果显示运动以后两点间距离保持不变，因此旋转变换是刚体运动。

现在考虑最后一种运动，设定一条直线为参照系，定义运动满足下面的条件：

运动后，物体上任意一点到给定直线的距离不变 （10）

对于这种运动，如果不考虑物体原地不动的情况，那么只有一种可能：以直线为轴，把物体翻转到直线的另一面，如图（3)所示：

图（3) 反射变换

这是中小学数学教科书中所说的图形对称，我们称其为反射变换。下面我们来证明反射变换是一种刚体运动。

如图（3）那样建立直角坐标系，把纵坐标建立在给定直线上。仍然令物体上两个点分别为X（x₁,x₂）和Y（y₁,y₂），运动后对应的点分别为Z（z₁,z₂）和E（e₁,e₂），那么运动前后坐标之间的关系为：

z₁=-x₁, z₂=x₂, e₁=-y₁, e₂=y₂ （11）

显然，上式等价于Z=AX和E=AY，其中

容易验证A’A=I,即A也是一个正交矩阵，类似（9）的运算，我们可以得到d(X,Y)=d(Z,E)。因此可以得到结论，反射变换是刚体运动。

归纳起来我们看到：平移变换，旋转变换，反射变换得到的运动都是图形的刚体运动。