前面的文章主要介绍了旋转矩阵,对于刚体的运动,除了旋转外还有平移。在机器人及自动驾驶中,经常用齐次变换矩阵将旋转和平移进行统一。 前面的文章也介绍过齐次变换矩阵,本文算是一个总结。
1. SE(3)
将旋转矩阵和平移向量写在同一个矩阵中,形成的矩阵,称为special Euclidean group,即,
很容易验证,齐次变换矩阵满足群所具有的性质,即封闭性,结合律,幺元,逆,所以称其为group是合理的。
此外齐次变换矩阵还能保持变换前后的距离和角度不变,假定,同时,则有,
2. 齐次变换矩阵的用法
2.1 描述坐标系
如上图所示,,假设fixed frame为,和重合,则,,可以描述为下面的公式1:
其中,
2.2 向量(坐标系)在不同坐标系下的描述
对于任意三个坐标系,在下为,
在下为。
2.3 对向量(坐标系)进行平移和旋转
可以将齐次变换矩阵写为公式1,这里将改写为齐次形式,为了便于标记,
假设body frame相对于fixed frame的描述为,则下面讨论左乘和右乘的区别,分别记为公式2和公式3,
以下图为例,假设,,,分析左乘和右乘的区别,
首先是左乘,如上图左边所示,根据公式2: 首先分析,首先以为基准进行旋转,为绕着旋转,将按照图中①的方式进行了旋转; 然后再左乘,将①的结果沿着移动2个单位,即得到图中②最终的结果。
其次是右乘,如上图右边所示,根据公式3: 首先分析,首先以为基准进行平移,即沿着平移2个单位,,即得到图中的①; 然后再右乘,以为基准进行旋转,即沿着旋转,得到图中②的结果。
综上所述,
左乘齐次矩阵,首先以为基准进行旋转,然后以为基准进行平移;
右乘齐次矩阵,首先以为基准进行平移,然后以为基准进行旋转。
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