用C++代码帮助理解负数在计算机中的表示

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笔者在大学里学习“计算机基础”这门课的时候，被原码、反码和补码这些概念搞得是晕头转向，最终也是似懂非懂。

但是在学习程序设计的时候，算是把负的整数在计算机中怎么表示搞清楚了

其实没那么复杂，只要记住这么几条就可以了：

将最左边的位（最高位） 看作“符号位”。

• 符号位为0 ，则表示是非负数，其绝对值就是除符号位以外的部分；
• 符号位为1 ，则表示是负数，其绝对值是所有位取反（0 变 1， 1 变 0 ）后再加 1 。

将一个负整数表示为二进制的方法：

• 设置符号位为 1，其余位等于绝对值取反再加 1

给定一个负整数的二进制表示形式，求该负整数：

• 该负整数的绝对值是其二进制表示形式取反再加1

( 取反加 1 后的结果要看作是正数）。

用下面这段C++代码来进一步帮助理解：

int的长度是4个字节，

也就是32个二进制位，

用十六进制表示就是8个十六进制数（每个十六进制数可以表示4个二进制位）

最左边的位是符号位，右边的31位是整数的数值，

所以整数int的范围就是 -2^31 ~ (2^31-1)

如果32个位都是1, 也就是十六进制FFFFFFFF （8个F），换算到十进制是多少呢？

• 套用上边的方法，第一个位是1，说明是负数；
• 后边的二进制位都是1 （F对应1111），取反后都是0，然后加1，就是1，也就是说绝对值是1；
• 所以8个F对应的十进制就是 -1 。

同理，一个1后边跟者31个0，也就是十六进制，对应的十进制是多少呢？

• 第一个位是1，说明是负数；
• 绝对值是（31个0取反+1），就是31个1+1，得到1后边跟31个0，就是2^31;
• 所以就是 -2^31= –

还有一个有趣的事情，就是溢出，英文叫 overflow

int变量对应的最大的数是，二进制0后边跟着31个1，对应十进制的2^31-1=；

对应的十六进制数是，第一个数0111也就7，后边跟着7个F;

十六进制7FFFFFFF + 1 是多少呢？

• 用二进制加一下就是1后边跟着31个0，
• 也就是我们上边计算过的，也就是十进制的–

参考代码中也调用了c语言库函数cmath来计算2^31次方，然后进行类型转换，来进一步帮助理解二进制数所表示的十进制整数，就不多解释了，看看代码应该可以搞明白在做什么

参考代码：

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; int main () { int a = 0xFFFFFFFF ; // -1 int b = 0x ; // -2^31 int c = 0x ; // -(2^31 -1) int d = abs(c) ; // max positive, 2^31 -1 int e = d+1 ; // max positive (2^31 -1) + 1 will overflow, result is -(2^31) printf("hexadecimal : decimal \n") ; printf("%x :%d\n", a, a) ; printf("%x :%d\n", b, b) ; printf("%x :%d\n", c, c) ; printf("%x :%d\n", d, d) ; printf("%x :%d\n", e, e) ; printf("-------------------------------------------\n") ; // double mm = pow (2.0, 31.0) ; // cmath lib 2^31 printf("double 2^31 = %lf\n", mm) ; long long m = (long long) mm ; printf("long long 2^31 = %ld\n", m) ; int n = (int) m; printf("int 2^31 = %d because of overflow\n", n) ; --m ; n = (int) m; printf("int (2^31 -1) = %d\n", n) ; m = (long long) mm ; m = 0 - m ; printf("long long (-2^31) = %ld\n", m) ; n = (int) m; printf("int (-2^31 ) = %d no overflow\n", n) ; return 0 ; } 

输出结果：

hexadecimal : decimal ffffffff :-1  :-  :- 7fffffff :  :- ------------------------------------------- double 2^31 = .000000 long long 2^31 =  int 2^31 = - because of overflow int (2^31 -1) =  long long (-2^31) = - int (-2^31 ) = - no overflow