「解题技巧」构造等腰三角形的方法——作平行线

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在几何的学习中，作辅助线是一门必修课，一道题在用尽所有方法，还是不知道怎样证明时，通过作一条辅助线，就能将题目中一些隐藏条件转化出来，最后达到解题的目的。所以学习一些作辅助线的技巧，对学好数学是很有必要的。

今天，分享我们在构造等腰三角形作的一种辅助线——作平行线。在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形，从而实现边角之间的转化。

下面结合例题讲解平行线的作法。

一 作腰的平行线

如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF交BC于点N，EM⊥BC于点M，求证：MN=BM+CN.

【解题提示】

阅读题目，我们知道直接证明比较难，所以考虑作辅助线，过点E作腰AC的平行线EG平行于AC交BC于G，要证明EG=FG，只需证明GN=CN，BM=MG；对于BM=MG，由平行线的性质可得∠CFN=∠GEN，∠ACB=∠EGB，根据等腰三角形性质可得∠ACB=∠GBE，等量代换即可得到三角形BEG是等腰三角形，结合等腰三角形的性质即可证得GN=CN，由等腰三角形性质可得BE=GE，再结合隐含条件（对顶角相等），利用AAS可得△GNE≌△CNF，根据全等三角形的性质即可证得，至此问题得证.作对辅助线是不是证明就非常容易呢？

【解题步骤】

二 作底边的平行线

2 如图，△ABC中，CA=CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD=CE，求证：DE⊥AB.

【解题提示】

过点D作DM/AB，交BC的延长线于点M，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质证得∠CDM=∠CMD；然后可得∠CMD+∠CDM+∠CDE+∠CED=180°，进而得出∠CDM+∠CDE=½×180°，即可得证.

【解题步骤】

以上两题通过作辅助线，达到解题的目标。例1是作等腰三角形腰上的平行线，例2是作等腰三角形底边上的平行线。构造新的等腰三角形实现边角之间的转化，最后得证。当然上题肯定还有其他的方法可以证明。大家可以试试。

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