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我们知道,数代表量,数的运算对应着量的计算。这是小学里需要掌握的数学内容。
到了中学,我们学习了向量(vector),实际上,就是一组数。一组数可以用来表示许多东西,比如空间里的箭头(包括所指方向和箭头长度);表示多项式(向量里的数对应着多项式的系数);表示复数(复数有实部和虚部两个部分);表示坐标等等。
如果只是用向量表示一组数,那意思就不大了。对于向量,我们有一些运算,比如向量与向量的加减法;一个数乘上一个向量,我们称其向量的数乘运算;向量与向量还有内积(得到一个数),叉积(得到一个向量)的积运算。
大学里我们还会学到矩阵,矩阵是什么呢?它是一组向量组成的。所以它有行,还有列。一个线性方程组,可以表示成为矩阵乘以向量等于另外一个向量的形式。由此,我们还可以定义矩阵乘以矩阵(将第二个矩阵看作是列向量的组合)。具体运算规则如下:
所以,矩阵乘以矩阵的规则,按一个一个元素来看,就是第i行第j列的元素,等于左边矩阵的第i行与右边矩阵第j列的内积。
这样定义的矩阵运算,并不像数的运算那样可以交换顺序,即,一般来说,对于两个矩阵,A与B,AB与BA不相等。比如
但矩阵乘法的结合律和数的运算是一样的,即
利用矩阵乘法的结合律,我们可以得到一些矩阵的有趣的结论。
我们举个例子。比如对于一个方阵A,如果存在一个同样大小的矩阵B,使得AB=I,I是一个单位阵。那么,我们可以推出BA也等于I,所以可以称B为A的乘法逆矩阵,简称为A的逆,记作。下面,我们证明一下这个结论:
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