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线性代数的教材中,有两处着重提到过n维向量,一处是n维向量的定义:
n个有顺序的数所组成数组
叫做n维向量。数叫做向量的分量(或坐标)。
另一处是n维向量内积的定义:
设有n维向量
令,
称为向量与的内积。
注意看,两种n维向量在形式有什么不同?一种写成行矩阵,一种写成列矩阵,对不对?
那么,各取一组3维向量,每组3个向量,按同样的编号方式写出它们的矩阵,会有什么不同呢?一起来看一下。
第一种向量,3个3维向量分别为:
,
,
。
它们组成的矩阵为:
第二种向量,3个3维向量分别为:
它们组成的矩阵为:
看出什么端倪来没有?从形式上看,矩阵A的行即是矩阵B的列,两个矩阵互为转置矩阵。显然横着写的向量和竖着写的向量不是一回事。
那么问题来了,两种向量之间有什么关联吗?
要想探究两种向量之间的关联,最简单的办法,是写出与它们同时具有关联意义的行列式,再看看它们的行列式有什么不同。
那么怎么样去找与两种向量都有关联的行列式呢?由于行列式的元素的基本含义是某一多元线性方程组的系数,那我们根据上面的两种3维向量组,分别写出对应的齐次线性方程组(各方程右端均为0,对应向量的内积为0)就好了。
在教材中,第一种向量的引出,是为“线性相关”这一概念作准备的,那我们就从这里入手。
我们先看一下线性相关的定义:
设有n维向量组,如果存在一组不全为o的数,使
,则称该向量组线性相关。
(注意一下编号的下坠字母m,通常我会用它来表示“行”)
根据线性相关的定义,我们为第一种向量组
,
,
。
构建齐次线性方程组。
为了编号形式一致,设存在一组不为全0的数,使。即
将字母对调一下,即为
提取的系数作为元素,有行列式:
的行列排序对照矩A,行变成了列,列变成了行,反而跟矩阵B长得一样了。
第二种向量的引出,是为“向量的内积”这一概念作准备的,向量的内积为0时,恰好对应齐次线性方程组(等号右端都为0)。
设存在非零向量()’,与向量
的内积均为零,则有
提取的系数作为元素,有行列式:
的行列排序对照矩B,也是行变列,列变行,跟矩阵A排序相同。
可以看出来,两个行列式,也只是行列互换,计算结果是一样的,。这说明两组向量所构成的向量空间是等价的,换句话说,一个向量空间可以用两种方式来表达。
对于一个向量空间,我们可以这样看待它:它有n个维度,对应线性方程组有n个未知数;在这n维空间里有m条向量线段,对应方程组包含m个方程。对应到行列式里m为行,n为列。
取一个向量的分量(或行列式的元素),它的下标是i、j,谁也没有规定i=m、i=n吧!所以,i可以在m里取值,也可以在n里取值,j同理。这样,就产生了两种不同的向量。
当i在n里取值时,表示在第i个维度里,第j条向量线段在其维度轴线上的投影坐标;锁定i,得到第一种向量,表示在一条维度轴线上,记录下所有向量线段的投影坐标。那么,不同维度轴线上的坐标线性关联吗?于是我们在此基础上讨论线性相关或线性无关。
当i在m里取值时,代表第i条向量线段在第j个维度轴线上的投影坐标;锁定i,得到第二种向量,表示一条向量线段在所有维度轴线上的坐标。既然得到一条向量线段的所有坐标,自然就是用来求内积的。
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