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前面的文章我们已经介绍过虚数单位i,我们定义i^2=-1。
类似地,我们就可以计算:
i^3=i^2×i=-1×i=-i
i^4=i^3×i=-i×i=-i^2=-(-1)=1
i^5=i^4×i=1×i=i
…………
i^5=i^1,i^6=i^2,i^7=i^3,i^8=i^4,……
我们可以看到,i的实数次方其结果有可能是一个实数,也有可能是一个虚数。同时也很容易观察到对于i^n,其周期T=4,我们可以进一步得出一般性结论:
i^(4k+n)=i^n,k∈整数集Z
对于虚数单位i的实数次方,我们还是比较容易理解的。今天我们来讨论一个有意思的问题,虚数的虚数次方应该怎么计算呢?比如i的i次方:i^i等于多少呢?这个结果是实数还是虚数呢?
i^i=?
要想解决这个问题,我们还是需要借助到强大的欧拉公式:e^(ix)=cos(x)+i×sin(x)
i=0+i=0+i×1
=cos(π/2)+i×sin(π/2)=e^[i×(π/2)]
i^i={e^[i×(π/2)]}^i=e^{[i×(π/2)]×i}
=e^[(i^2)×(π/2)]=e^[(-1)×(π/2)]=e^(-π/2)
i^i=e^(-π/2)=1/e^(π/2)=1/√(e^π)
我们可以看到i^i=e^(-π/2)=1/√(e^π)
其结果是一个实数,用计算器算一下:
这个结果确实有些令人难以接受,但这就是事实,i^i=0.……
这里需要强调地是,i^i=e^(-π/2)=1/√(e^π)=0.……只是i^i其中一个计算结果,我们称之为主值。
e^(ix)=cos(x)+i×sin(x),若0≤x<2π,则称e^(ix)为计算结果的主值。
所以对于i^i,完整的计算结果如下:
i=0+i=0+i×1
=cos(π/2)+i×sin(π/2)=e^[i×(π/2)]
注意到正弦函数y=sin(x)与余弦函数y=cos(x)的最小正周期都是2π
cos(π/2+2kπ)=cos(π/2)=0,k∈Z
sin(π/2+2kπ)=sin(π/2)=1,k∈Z
i=0+i=0+i×1=cos(π/2+2kπ)+i×sin(π/2+2kπ)
=e^[i×(π/2+2kπ)]
i^i={e^[i×(π/2+2kπ)]}^i
=e^[-(π/2+2kπ)]
=1/e^(π/2+2kπ),k∈Z
当k=0时,i^i的主值为:
i^i=e^(-π/2)=1/e^(π/2)=1/√(e^π)
类似地,我们还可以计算i次根号下i,也就是i的(1/i)次方:i^(1/i)
1/i=i/i^2=i/(-1)=-i
i^(1/i)=i^(-i)=1/i^i
前面我们已经计算出,i^i的主值为:
i^i=e^(-π/2)=1/e^(π/2)=1/√(e^π)
所以i^(1/i)的主值为:
1/e^(-π/2)=e^(π/2)=√(e^π)
其结果仍然是一个实数,再用计算器算一下:
最后总结一下,对于计算i^x,首先利用欧拉公式:
i=0+i=0+i×1
=cos(π/2)+i×sin(π/2)=e^[i×(π/2)]
i^x={e^[i×(π/2)]}^x=e^[(ix)×(π/2)]
i^x=e^[(ix)×(π/2)]
很显然地是,如果x是纯虚数x=ai,a∈R且a≠0
ix=i×ai=a×i^2=a×(-1)=-a
i^x=e^[(ix)×(π/2)]=e^[(-a)×(π/2)]
也就是说:i的纯虚数次方必然为一个实数。
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