完全数(完美数)

完全数(完美数)设 N 表示正整数 n 的真因子之和 当 N n 时 则 n 称为完全数 又称完美数 完备数 例如 6 的真因子有 1 2 3 其和为 1 2 3 6 因此 6 是完全数

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设 N 表示正整数 n 的真因子(不包含 n ,包含1的 n 的一切正因子)之和,当 N = n 时,则 n 称为完全数,又称完美数、完备数。当 N < n 时,则 n 称为亏数。当 N > n 时,则 n 称为盈数。

例如,6的真因子有1、2、3,其和为1+2+3=6,因此6是完全数。8的真因子有1、2、4, 1十2十4=7<8,因此,8是亏数。12的真因子有1、2、3、4、6,其和为1+2+3+4+6=16>12,因此,12是盈数。

从自然数的这种分类方法可以看出完全数是很少的,而亏数和盈数是较多的。物以稀为贵,正因为完全数很少,故在占卜推理中,常给其赋予神秘色彩,比如,“六”大顺,吉利等。

计算机发明以前,数学家们对完全数研究发现了12个完全数,且全部是偶数。其中前四个是6、28、496、8128。

欧几里得的《几何原本》第九卷的最后一个命题证明:如果2的n次方-1是素数(大于1的整数,如果除了本身和1以外再没有正整数因子,则称为素数),则2的n-1次方乘以2的n次方-1就是完全数。例如,当 n =2时,由于2的2次方-1=3是素数,所以2的(2-1)次方乘以(2的2次方-1)=2X3=6是完全数。当 n =3时,由于2的3次方-1=7是素数,所以2的3-1次方x7=28是完全数。当 n =4时,易见2的4次方-1=15不是素数,故2的4-1次方x15=120不是完全数。 n =5时,2的5次方-1=31是素数,故2的5-1次方×31=496是完全数。

计算机发明后,人们利用计算机又发现了n=

521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209时,也对应着完全数。现在,已知的完全数达到了47个。

这些完全数全是偶数。是否存在奇完全数,这是数论中尚未解决的著名世界难题之一。

完全数(完美数)

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