完全数（完美数）

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设 N 表示正整数 n 的真因子（不包含 n ，包含1的 n 的一切正因子）之和，当 N = n 时，则 n 称为完全数，又称完美数、完备数。当 N < n 时，则 n 称为亏数。当 N > n 时，则 n 称为盈数。

例如，6的真因子有1、2、3，其和为1+2+3=6，因此6是完全数。8的真因子有1、2、4, 1十2十4=7<8，因此，8是亏数。12的真因子有1、2、3、4、6，其和为1+2+3+4+6=16>12，因此，12是盈数。

从自然数的这种分类方法可以看出完全数是很少的，而亏数和盈数是较多的。物以稀为贵，正因为完全数很少，故在占卜推理中，常给其赋予神秘色彩，比如，“六”大顺，吉利等。

计算机发明以前，数学家们对完全数研究发现了12个完全数，且全部是偶数。其中前四个是6、28、496、8128。

欧几里得的《几何原本》第九卷的最后一个命题证明：如果2的n次方-1是素数（大于1的整数，如果除了本身和1以外再没有正整数因子，则称为素数），则2的n-1次方乘以2的n次方-1就是完全数。例如，当 n =2时，由于2的2次方-1=3是素数，所以2的（2-1）次方乘以(2的2次方-1)=2X3=6是完全数。当 n =3时，由于2的3次方-1=7是素数，所以2的3-1次方x7=28是完全数。当 n =4时，易见2的4次方-1=15不是素数，故2的4-1次方x15=120不是完全数。 n =5时，2的5次方-1=31是素数，故2的5-1次方×31=496是完全数。

计算机发明后，人们利用计算机又发现了n=

521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209时，也对应着完全数。现在，已知的完全数达到了47个。

这些完全数全是偶数。是否存在奇完全数，这是数论中尚未解决的著名世界难题之一。