数三——函数极限与连续

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1、集合（集合，区间与邻域）

集合：一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总称为集合，组成集合的事物或对象成为该集合的元素。

一个集合，如果含有有限个元素，则称为有限集，如果含有无限个元素，则称为无限集；

如果不含有任何元素，则称为空集，记作ø。

集合的表示方法通常有两种：列举法、描述法。

非负整数集（自然数集）：N；正整数集：N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R

区间：常见的实数集是区间：开区间，半开半闭区间，闭区间，无穷区间

邻域：设δ为某个正数，称开区间（X0-δ，X0+δ）为点X0的δ邻域，简称点X0的邻域，记作（X0，δ）点X0成为邻域的中心，δ称为邻域的半径；

去中心之后成为点X0的去心邻域，分为左邻域和右邻域。

2、函数（定义，表示，性质，反函数/隐函数，复合/分段函数，初等函数）

定义：设x，y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个x∈D，通过对应法则f，有唯一确定的y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）。其中x是自变量，y是因变量，D是定义域，全体的函数值f（x）称为函数的值域，记作Rf，即Rf={y|y=f（x）}，函数的记号可以任意选取。确定函数的两要素：定义域和对应关系。

多值函数：一个自变量x通过法则f有确定的y与之对应，y值不唯一。

函数的性质：

（1）函数的有界性：若存在常数M>0，使得每一个x属于I，有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区域I上有界。

（2）函数的单调性：单调递增或者单调递减。

（3）函数的奇偶性：f（x）=f（-x）偶函数；f（x）=-f（-x）奇函数。

（4）函数的周期性f（x±l）=f（x），所有正周期中存在一个最小的正数称为最小正周期。

反函数：y=f（x）的反函数为y=f-1（x）。性质：同增同减，关于直线y=x对称。

复合函数：设y=f（u），u∈Df，函数u=g（x），x∈Dg，值域Rg含于Df，则y=f[g（x）]称为由y=f（u），u=g（x）复合而成的复合函数，u为中间变量。

基本初等函数（六种）：

常数函数：y=C（C为常数）；幂函数：y=xa（a≠0）；

指数函数：y=ax（a＞0且a≠1）；对数函数：y=logax（a＞0且a≠1）；

三角函数：y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=cscx；

反三角函数：y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx。

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数。

3、数列极限（概念，性质）极限存在的两个准则

定义1：按照一定法则，使得任何一个正整数n对应一个确定的数an，那么，我们称这列有次序的数为数列，数列中的每一个数叫做数列的项，第n项an称为数列的一般项或通项。

数列值an随着n变化而变化，因此可以把数列{an}看成自变量为正整数n的函数，即an=f（n），n∈N+。数列{an}对应数轴上的一个点列，可看作一动点在数轴上一次取a1，a2，a3，a…。

定义2：设{an}是一数列，a是一常数，当n无限增大时，an无限接近于a，则称a为数列{an}当n→∞时的极限，记作liman（n→∞）=a。

一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在一个正整数N，使得当n＞N时，不等式|an-a|＜ε都成立，这就是数列{an=（-1）n-1/n}当n→∞时极限存在的实质。

定义3：设{an}是一数列，a是一常数，如果对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|an-a|＜ε都成立，则称a为数列{an}的极限，或称数列{an}收敛于a记作liman（n→∞）=a。反之，如果数列{an}极限不存在，则数列{an}发散。

性质：

①极限的唯一性：极限存在必定唯一。

②收敛数列的有界性：收敛一定有界，有界不一定收敛。

③收敛数列的保号性：如果liman（n→∞）=a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，有an＞0（或an＜0）。推论：如果数列{an}从某项起，有an≥0（或an≤0），且liman（n→∞）=a，那么a≥0。

④夹逼准则：如果数列{an}，{bn}及{cn}满足：（1）bn≤an≤cn；（2）limbn（n→∞）=a，limcn（n→∞）=a；那么数列{an}的极限存在，且liman（n→∞）=a。

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

⑤单调有界准则：单调有界数列必有极限。

⑥若数列{an}收敛于a，则它的任一子列也收敛于a。