（三十四）高中数学之 平面向量 篇

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一、向量的基本概念

1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

（向量两大要素：大小和方向，二者缺一不可。向量的大小是代数特征，方向是几何特征。）

2、向量的表示：

向量可以用有向线段（带有方向的线段）表示，有向线段的长度表示向量的大小，线段的箭头指向就是向量的方向，线段的起点叫做向量的起点，线段的终点叫做向量的终点。

一般地，可以用有向线段的两个端点（并且在端点上加上“→”符号）来表示，也可以用加租的小写字母来表示。

例如：下图中向量表示为AB向量（无法在AB上添加箭头，抱歉！）（读作AB向量）或“a“（读作a向量，书写时应在字母上加“→”符号）

3、向量的模（长度）：

（1）向量模的概念：表示向量的有向线段的长叫做向量的模，也叫做向量的长度，如上图中，a向量记作|a|。

（2）平行向量的概念：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，用符号“∥”表示。

（3）零向量的概念：模为零的向量叫做零向量，记作“0”，零向量的方向是不确定的，零向量与任一向量平行。

（4）相等向量的概念：如果两个向量的模相等且方向相同，那么这两个向量相等，即：互为相等向量。

（5）相反向量的概念：如果两个非零向量的模相等且方向相反，那么这两个向量互为相反向量（负向量）。

二、向量运算法则

1、向量的加法：

①三角形法则：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点A，作(AB向量) =a，(BC向量)=b，并且作(AC向量) ，则(AC向量) 叫做向量a与向量b的和，记作a+b。

如图所示：(AC向量)= a+b

②平行四边形法则：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点A，作（AB向量）=a,（AD向量）=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则（AC向量）= a+b。

如图所示：（AC向量）= a+b

③运算律：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点O，作(OA向量) =a，(OB向量)=b，作(BA向量)，则(BA向量)=a-b。

一个向量减去另一个向量等于加上它的相反向量，即：a-b=a+-(b)。

如图所示：(BA向量)=a-b

三、向量的数乘运算

1、概念：实数与向量a的积是一个向量，记作a，此向量的模为|a|=||×|a|。

规定：当向量a不为零向量时，若＞0时，a与a同向；若＜0时，a与a反向；若=0时，a=0。

2、数乘运算的几何意义：

a是把向量a沿a的方向或a的反向放大或缩小到原来的||倍。

3、运算律：

向量的加法、减法、数乘运算叫做向量的线性运算。

四、向量的坐标运算

1、什么是向量的坐标？设(AB向量)的起点A的坐标为（a，b），终点B的坐标为（c，d），则(AB向量)的坐标为（c-a，d-b），(AB向量)的模为√【（c-a）^2+（d-b）^2】。

2、向量的坐标运算公式：设向量a=（e，f），向量b=（g，h），λ∈R，则有：

3、线段的定比分点公式：（≠0）

设（AB向量）=（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），则有：

证明如下：

已知（AB向量）=（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），所以

化简得到：

当=1时，（AB向量）=（BC向量），此时B为A、C中点，则有中点坐标公式

4、三角形重心公式：

设△ABC的三个顶点坐标分别为：A（a,b），B（c,d），C（e,f），重心G（x,y），则有重心坐标公式

证明如下：

因为△ABC三个顶点为：A（a,b），B（c,d），C（e,f），G（x,y）为三角形的重心（三边中线的交点，将中线分成2：1的比例），

设D为B、C的中点，D【（c+e）/2，（d+f）/2】则有AG/DG=2/1，即：（AG向量）=2（GD向量），

所以，根据定比分点公式可得，

5、向量平移公式：

如果点P（x,y）按向量a=（m,n）平移到点P‘（x’,y’），则（OP’向量）=（OP向量）+a（O为原点），即：

五、向量的内积

1、向量的夹角：

（1）概念：已知两个非零向量a和b，作（OA向量）=a,（OB向量）=b，我们把由射线OA与OB所形成的角∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>。

（2）规定：

①向量的夹角的取值范围为[0°，180°]；

②当<a,b>=90°时，a与b垂直；

③当<a,b>=180°时，a与b反向（非反向量）；

④当a×b≤0时，<a,b>的取值范围为[90°，180°]；

⑤当a×b≥0时，<a,b>的取值范围为[0°，90°]。

2、向量的内积：设向量a=（e，f），向量b=（g，h），它们的夹角为θ。

（1）向量坐标公式：

（2）什么叫向量的内积（数量积）？两个非零向量a，b的模与它们夹角的余弦之积叫做向量a，b的内积，也叫做数量积，其结果为一个数量。

数量积公式：a×b=|a|×|b|×cos<a,b>

（3）向量的夹角公式：

cosθ=(a×b)/(|a|×|b|)=(e×g+f×h)/(√（e^2+f^2 ）×√（g^2+h^2）)

向量正如一把数学工具