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误差和误差限
在数值计算中使用的数通常有两种类型:一种是能够准确反映客观事物数量关系的精确数,如班级有30人,有 1 2 \frac{1}{2} 21为男生;另一种是近似反映客观事物数量关系的近似数,如书重0.15kg。如果改变观测方法、提高测量精度,这些数据会更准确些,但仍然会和实际值之间存在着一定差异,这种差异就是误差。因此,如何控制计算误差、提高计算精度是重要问题
- 绝对误差和绝对误差限
设数 x ∗ x^* x∗为精确数(精确值或真值),数x为其近似数(近似值),则
e ( x ) = x ∗ − x e(x)=x^*-x e(x)=x∗−x
称为近似值x的绝对误差。一般情况下,人们无法准确地知道精确值 x ∗ x^* x∗的大小,但根据具体的测量和计算情况,如果总有
∣ e ( x ) ∣ = ∣ x ∗ − x ∣ ≤ ϵ |e(x)|=|x^*-x|\leq \epsilon ∣e(x)∣=∣x∗−x∣≤ϵ
成立,则称 ϵ \epsilon ϵ为近似值 x x x的绝对误差限。显然有
x − ϵ ≤ x ∗ ≤ x + ϵ x-\epsilon\leq x^*\leq x+\epsilon x−ϵ≤x∗≤x+ϵ
这表明精确数介于某两个数之间。因此在工程上,精确值 x ∗ x^* x∗常常可表示成另一种形式:
x ∗ = x ± ϵ x^*=x\pm \epsilon x∗=x±ϵ
绝对误差不足以刻画近似数的精确程度,除了绝对误差以外,还必须考虑此数本身的大小,即有相对误差的概念。
- 相对误差与相对误差限
定义近似数x的相对误差为:
e r ( x ) = ( x ∗ − x ) / x ∗ e_r(x)=(x^*-x)/x^* er(x)=(x∗−x)/x∗
由于精确数 x ∗ x^* x∗在一般情形下无法得知,而 x ≈ x ∗ x\approx x^* x≈x∗,故相对误差常用下列定义:
e r ( x ) = ( x ∗ − x ) / x e_r(x)=(x^*-x)/x er(x)=(x∗−x)/x
相应地,相对误差限 ϵ r \epsilon_r ϵr定义为:
∣ e r ( x ) ∣ = ∣ x ∗ − x x ∣ ≤ ϵ |e_r(x)|=|\frac{x^*-x}{x}|\leq \epsilon ∣er(x)∣=∣xx∗−x∣≤ϵ
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