微积分-函数与极限6（函数的连续性）

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引言

\uad 生活中有很多物理现象都是连续的，例如温度随时间的变化、汽车位移随时间的变化。其实数学中的连续性与之类似。这一节就来研究一下数学中的连续。

连续性定义

定义 1 如果${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$，函数$f$在$x=a$处连续。

从上面的定义，可以看出函数$f$要在$a$处连续，需要满足三个条件：

1. $f(a)$存在（即$a$在函数$f$的定义域内）
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$存在
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

从几何角度上来说，如果一个函数的图像在某个区间内没有间断，那么这个函数在该区间内就是连续的。

例一：根据定义 1再结合函数的图像，说明函数在哪些点上不连续。

解：

• 函数在$x=1$处不连续，因为$f(1)$不存在；
• 函数在$x=3$处不连续，因为${\lim }_{x\to 3}f(x)$不存在；
• 函数在$x=5$处不连续，因为${\lim }_{x\to 5}f(x)\ne f(5)$。

例二：找出下列函数不连续的点。
(a) $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}$
(b) $f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{x^2}& x\ne 1\\ & 1& x=1\end{array}$
(c) $f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{x^2-x-2}{x-2}& x\ne 2\\ & 1& x=2\end{array}$
(d) $f(x)=\lfloor x\rfloor$（向下取整）
解：
(a) 函数在$x=2$处不连续，因为不在定义域内；
(b) 函数在$x=1$处不连续，因为${\lim }_{x\to 1}f(x)$不存在；
(c) 函数在$x=2$处不连续，因为
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+1)=3\ne f(2)$$
(d) 函数在$x$为整数的点不连续，因为这些点的极限不存在。（下面会证明）

如图所示，其中
(a)和(c)被称为可移除连续
(b)被称为无限不连续
(d)被称为跳跃不连续

定义 2 如果${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$，那么函数$f$在$x=a$的右侧连续；如果${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$，那么函数$f$在$x=a$的左侧连续。

例三：证明对于任意整数$n$，函数$f(x)=\lfloor x\rfloor$在$x=n$的右侧连续。
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to n^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to n^{+}}{\lim }\lfloor x\rfloor =n=f(n)\\ & \underset{x\to n^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to n^{-}}{\lim }\lfloor x\rfloor =n-1\ne f(n)\end{array}$$
通过这个例子，我们可以看出$f(x)=\lfloor x\rfloor$在$x$为整数的点上没有极限，因此不连续。

定义 3 如果函数$f$在区间内任意点上连续，那么$f$在该区间连续。（如果$f$仅在区间端点的一侧定义，则我们将端点处的连续理解为从右侧连续或从左侧连续。）

例四：证明$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$在区间$[-1,1]$连续。
解：
如果$-1<a<1$，那么根据前面的极限定律，有
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{\lim }f(x)& =\underset{x\to a}{\lim }(1-\sqrt{1-x^2})\\ & =1-\underset{x\to a}{\lim }\sqrt{1-x^2}\\ & =1-\sqrt{\underset{x\to a}{\lim }(1-x^2)}\\ & =1-\sqrt{1-a^2}\\ & =f(a)\end{array}$$
根据定义 1，$f$在$a$处连续，其中$-1<a<1$。另外
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=1=f(-1)\\ & \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=1=f(1)\end{array}$$
根据定义 2，$f$在$-1$右侧连续，在$1$的左侧连续。因此，根据定义 3，$f$在$[-1,1]$上连续。

定理

定理 1 如果$f$和$g$在$a$点连续，并且$c$是一个常数，那么下面的函数同样在$a$点连续：

1. $f+g$
2. $f-g$
3. $cf$
4. $fg$
5. $\frac{f}{g}$ \

证明$f+g$也在$a$处连续。
已知${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$和${\lim }_{x\to a}g(x)=g(a)$。
因此
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{\lim }(f+g)(x)& =\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)]\\ & =\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)\\ & =f(a)+g(a)\\ & =(f+g)(a)\end{array}$$
所以$f+g$在$a$点连续。

定理 2
(a) 多项式在任意点连续；也就是说多项式在$(-\infty ,\infty )$连续；
(b) 分数式在定义域连续；
(c) 根函数在定义域连续；
(d) 三角函数在定义域连续；
证明(a)
多项式的格式为
$$P(x)=c_n{x}^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +c_1{x}^1+c_0$$
其中$c_0,c_1,\dots ,c_n$为常数。根据极限定律我们知道
$$\underset{x\to a}{\lim }{c}_0=c_0$$
$$\underset{x\to a}{\lim }{x}^m=a^m$$
由此可见，$f(x)=x^m$是一个连续的函数。根据定理1-3，我们知道$g(x)=c{x}^m$也连续。因此，根据定理1-1可知$P$连续。

例一：计算${\lim }_{x\to \pi }\frac{\sin x}{1+\cos x}$。

• 首先证明其连续；
• 然后根据定义 1求解。

定理 3 如果$f$在$x=b$处连续，并且${\lim }_{x\to a}g(x)=b$，那么${\lim }_{x\to a}f(g(x))=f(b)$。也就是
$$\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=f(\underset{x\to a}{\lim }g(x))$$

定理 4 如果$g$在$a$处连续，$f$在$g(a)$处连续，那么复合函数$(f\circ g)(x)=f(g(x))$在$a$处连续。

证明
已知
$$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=g(a)$$
根据定理 3，有
$$\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=f(g(a))$$

中值定理 5 假设$f$在$[a,b]$连续，令$N$处于$f(a)$和$f(b)$中间，其中$f(a)\ne f(b)$。那么存在$c$属于$(a,b)$，使得$f(c)=N$。

如图所示

练习题

1. 根据定理，说明函数为什么在其定义域内连续，并指出其定义域。
   $$B(x)=\frac{\tan x}{\sqrt{4-x^2}}$$
2. 根据连续性计算极限。
   $$\underset{x\to \pi }{\lim }\sin (x+\sin x)$$
3. 证明$f$在$(-\infty ,\infty )$上连续。
   $$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& 1-x^2& x\le 1\\ & \sqrt{x-1}& x>1\end{array}$$
4. 找出不连续的点，说明在这些点上是左侧连续还是右侧连续，并且画出图像。
   $$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& x^2& x<-1\\ & x& -1\ge x<1\\ & 1/x& x\ge 1\end{array}$$
5. 地心引力方程如下，请问$F$在$r=R$处连续吗？
   $$F(r)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{GMr}{R^3}& r<R\\ & \frac{GM}{r^2}& r\ge R\end{array}$$
6. 找出常量$c$，使得$f$在$(-\infty ,\infty )$连续。
   $$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& c{x}^2+2x& x<2\\ & x^3-cx& x\ge 1\end{array}$$
7. 根据中值定理，证明下面的式子有解。
   $$\sin x=x^2-x$$
8. 证明当前仅当${\lim }_{h\to 0}f(a+h)=f(a)$时，$f$在$a$处连续。
9. 使用上面的结论证明$\sin x$在任意$a$处连续。
10. 一个僧人一天早上7点从寺庙向山顶出发，晚上7点到达山顶。第二天早上7点从山顶向寺庙出发，走同样路线，晚上7点到达寺庙。请使用中值定理证明路径上有一个点，僧人两天在同一时刻穿过该点。