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若:a、b、c是方程x³+x²-2x-1=0的三个实根。
求:³√a+³√b+³√c的值。
这是-道网上流传已久的-道求值题,并非完全解方程代入求值,而是依据韦达定理,同时利用一代数公式(a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²)+6abc求解,下面分享其解法:
解:依韦达定理
a+b+c=-1…①
ab+bc+ac=-2…②
abc=1…③
∵(a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+3a²c+3ac²+6abc
∴(³√a+³√b+³√c)³
=(a+b+c)+3³√(a²b)+3³√(ab²)+3³√(b²c)+3³√(bc²)+3³√(a²c)+3³√(ac²)+6³√(abc)
=(a+b+c)+6³√(abc)+3{[³√(a²b)+³√(b²c)+³√(ac²)]+[³√(ab²))+³√(bc²)+³√(a²c)]
=5+3{[³√(a²b)+³√(b²c)+³√(ac²)]+[³√(ab²)+³√(bc²)+³√(a²c)]
令³√(a²b)+³√(b²c)+³√(ac²)=P,³√(ab²))+³√(bc²)+³√(a²c)=q
P³=[³√(a²b)+³√(b²c)+³√(ac²)]³
=a²b+b²c+ac²+3[³√(a⁴b⁴c)+³√(a²b⁵c²)+³√(ab⁴c⁴))+³√(a²b²c⁵))+³√(a⁵b²c²)+³√(a⁴bc⁴)]+6abc
=a²b+b²c+ac²+3(ab+b+bc+c+a+ac)+6
=a²b+b²c+ac²-3
同样
q³=[³√(ab²)+³√(bc²)+³√(a²c)]³
=ab²+bc²+a²c-3
P³+q³=(P+q)³-3pq(P+q)
i)P³+q³=a²b+b²c+ac²-3+ab²+bc²+a²c-3
=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6
=ab(-1-c)+bc(-1-a)+ac(-1-b)-6
=-(ab+bc+ac)-3abc-6
=-7
ii)Pq=[³√(a²b)+³√(b²c)+³√(ac²)][³√(ab²)+³√(bc²)+³√(a²c)]
=ab+bc+ac+3³√(abc)²+a+b+c
=-2+3-1
=0
∴(P+q)³=-7
∴p+q=-³√7
∴(³√a+³√b+³√c)³=5-3³√7
∴³√a+³√b+³√c=³√(5-3³√7)
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